Géométrie

space affine est un couple

$(P,\lambda)$, ou $P$ est un point et $\lambda$ un réel.

- Lemme : On se donne r points massiques $(P_i, \lambda_i)$ tels que

La somme des $\lambda_i$ soit non nulle.

a) Il existe un unique

point G tel que $\sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{G P_i} =0$.

b) Pour tout point $P$, on a $\vec{PG} = \frac{1}{\lambda_1 + \ldots +

\lambda_r} \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{P P_i}$.

- Definition : On appelle barycentre de la famille $(P_i, \lambda_i)$

le point G. L'isobarycentre .... . Le milieu ....

- Remarque : Le milieu est une "notion affine", i.e. ne fait

intervenir que des points et des vecteurs et non pas des "longeurs".

- Lemme (associativite des barycentres)

[Demonstration laissee en exercice]

1.2 Sous-espaces affines

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On fixe un espace affine \mathcal{E} de direction E.

- Lemme : Pour une partie non vide \mathcal{F} de \mathcal{E},

on a equivalence entre

(i) \mathcal{F} = P + F pour un sous-espace vectoriel F de E

(ii) \mathcal{F} est stable par formation de barycentres

- Definition d'un sous-espace affine par les proprietes (i) et (ii) du lemme.

Definition de sa direction, de sa dimension.

- Remarques : 1) Tout sous-espace affine est un espace affine.

2) Les sous-espaces affines de R^n sont exactement les ensembles non vides de

solutions de systemes d'equations inhomogenes a n variables.

- Quelques exemples de sous-espaces affines de R^2, R^3 et R^4 donnes par des

systemes d'equations inhomogenes.

- Definition du segment [PQ] entre deux points, de la droite (PQ) passant par

deux points distincts, de l'alignement, du vecteur directeur d'une droite,

d'un repere cartesien d'une droite, de la mesure algebrique \overline{AB}

associee a deux points A,B d'une droite reperee.

- Lemme : Le rapport de deux mesures algebriques est independant du

choix du repere.

[Demonstration laissee en exercice]

- Lemme : a) L'intersection de deux sous-espaces affines est ou bien

vide ou bien un sous-espace affine de direction l'intersection

des directions.

b) Si la somme des directions des sous-espaces est la direction de

l'espace tout entier, alors l'intersection des sous-espaces est non vide.

c) Si les directions des sous-espaces sont supplementaires,

l'intersection est non vide et reduite a un point.

- Etude des positions relatives de deux droites affines dans le plan

Exercice : Etude des positions relatives de deux plans dans un

espace de dimension 3,

puis d'une droite et d'un plan dans un espace de dimension trois.

- Definition de la concourance

- Theoreme des medianes

(les medianes d'un triangle sont concourantes en son centre

de gravite ...)

Lemme : a) L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces

affines est ou bien

vide ou bien un sous-espace affine.

b) Si X est une partie non vide de \mathcal{E}, il existe un

plus petit sous-espace

affine contenant X. On l'appelle le sous-espace engendre par X.

[Demonstration non faite (mais facile bien sur)]

Lemme : Soit X une partie non vide et P un point de X.

a) Le sous-espace affine engendre par X est egal a P+F ou F

est le sous-espace vectoriel

engendre par les vecteurs \vec{PQ}, ou Q appartient a X.

b) Il est aussi egal a l'ensemble des barycentres des points de X.

Exemples : Le sous-espace affine de R^3 engendre par

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Puis le sous-espace affine engendre par

ces trois points et l'origine.

Corollaire : Le sous-espace affine engendre par r points est au plus

de dimension r-1.

Cours du 25/09/05

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- notion de points affinement independants

- exemples dans le plan affine et dans un espace affine de dimension 3.

1.3 Reperes

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- Definition d'un repere cartesien dans un espace affine, coordonnees

cartesiennes

- Exemple dans R^2

- Definition d'un repere affine, coordonnees barycentriques

- Exemple dans le plan R^2. Sept regions determinees par des inegalites sur les

coordonnees barycentriques.

1.4 Applications affines

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- Definition d'une application affine : partie lineaire notee $\vec{f}$.

- Remarques 1) $\vec{f(P)f(Q)} = \vec{f}(\vec{PQ})

2) Soient $P$ un point de $\mathcal{E}$, $Q$ un point de

$\mathcal{F}$ et $\phi$ une application lineaire de $E$ and

$F$. Alors il existe une unique application lineaire $f$

de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$ telle que

a) f(P)=Q et

b) la partie lineaire de $f$ soit $\phi$.

On a f(R) = Q + \phi(\vec{PR}).

- Exemples: applications affines de R dans R, de R^2 dans R, de R^2

dans R^2, de R^p dans R^n.

- Theoreme : Une application est affine ssi elle conserve les barycentres.

- Theoreme : a) L'image d'un sous-espace affine par une application

affine f est un sous-espace affine de direction l'image de la

direction par la partie lineaire de f. En particulier, l'image

d'une droite affine est une droite affine ou un point.

b) Les applications affines conservent les rapports de mesures

algebriques.

c) L'image reciproque d'un sous-espace affine est ou bien vide ou

bien un sous-espace affine de direction l'image reciproque de la

direction par la partie lineaire de f. En particulier, l'image

reciproque d'un point est ou bien vide ou bien un sous-espace de

direction le noyau de la partie lineaire de f.

Rappel sur les projections et les symetries lineaires

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Soit E un espace vectoriel (reel, de dimension finie). Soient F et G

des