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cos2 α ⇒ cos2 α + cos2 α = 1 ⇒

cos 2 α + sin 2 α 1 = . 2 cos α cos 2 α 1 ⇒ 1 + tg2 α = cos 2 α

α

O

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tg 2α =

sin 2α 2 sin α . cos α = . cos 2α cos 2 α − sin 2 α 2 sin α .2 cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α cos 2 α

=

2tgx . 1 − tg 2α

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Mathématiques Economiques

III-

Dérivées des fonctions trigonométriques : f (x) sin x cos x tg x cos (ax + b) sin (ax + b) cos x - sin x

1 = 1 + tg2 x 2 cos x

f ′ (x)

- a . sin ( ax + b) a . cos (ax + b)

IV-

Fonctions réciproques :

Y = cos x

Y = sin x Y = tg x V-

⇔

x = arcos y

⇔ x = arc sin y ⇔ x = arc tg y Etude de la fonction (y = sin x) : 1- Domaine de définition :

Df = ℜ. 2- Parité : Si f (-x) = f (x). ⇒ la fonction est paire. Si f (-x) = - f (x) ⇒ la fonction est impaire. Donc sin (-x) = - sin (x) ⇒ y est une fonction impaire. 3- Périodicité : Une fonction est périodique de période T. ⇔ f (x + T) = f (x). y = sin (x) sin (α + 2π) = sin α. Sin (α + 4π) = sin α. Sin (α + kπ) = sinα.

sin

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Sin α

α Donc dans ce cas T = 2π

cos cos α

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4- Dérivée : y ′ = cos x ⇔ cos x ≥ 0 ⇔ cos x ≤ 0 ⇔

π π

2

2 3π ≤x≤ 2 2

≤ x ≤

π

5- Tableau de variation : x y′ y 0 6- La courbe : y 0 + 1 -1

π

2 3π 2

2π + 0

-

1

π

2

3π 2

x 2π

-1 T=2π

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VI-

Etude de la fonction (y = cos x) :

La dérivée de cette fonction est la suivante : y ′ = - sin x. La table de variation se présente comme suit :

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x y′ y

0 1

π +

2π 1

-1 y

1

0



π

2



 π





3π 2



 2π





x

-1

VII- Etude de la fonction (y = tg x) : 1- Période : Tg (α + π) = tg α ⇒ tg α est périodique et T = π.

2- Parité : tg (-x) = -tg x ⇒ y = tg x est impaire.

3- Dérivée :

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y′=

1 cos 2 x

≠ 0.

4- Le tableau de variation :

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x y′ y

−π 2

π

2

+ -∞ +∞

5- La courbe : y y = tg x

x

Remarque : les asymptotes :

VIII- Exercices : 1/ Calculer le (sin x) et la (tg x), sachant que cos x = 1 2/ Résoudre dans RR les équations : a2 sin 3 x = 1.

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2 .

b-

cos 2 x =

3 2

Solution : 1- On sait que sin2x + cos2x = 1 ⇒ sin2x = 1- cos2x. On sait aussi que : cos x = 1- 2 .

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⇒ cos2x = (1- 2 )2 = 1- 2 2 + 2. ⇒ sin2x = 1- (1- 2 2 + 2). ⇒ sin2x = 2 2 - 2 = 2( 2 - 1). ⇒ sin x = ± 2( 2 − 1) = ± • tg = ? On sait que 1+ lg2 = ⇒ tg2 x = ⇒ tg x =

2

2 −1 × 2

1 . cos 2 x

1 -1. cos 2 x 1

(1 − 2 )

2

2

-1=

1 − (1 − 2 ) 2 (1 − 2 )

2

=

2( 2 − 1) (1 − 2 ) 2

.

⇒ tg2 x = ⇒ tg2 x = ±

(1 − 2 )

−2

. = ±

2 ( 2 − 1)

(1 − 2 )

.

2- a- 2 sin (3x) = 1 ⇒ sin 3x = 1 2 ⇒ sin 3x = sin

π

6

. * x = α + 2kπ. * x = (π - α) + 2kπ. * x = α + 2kπ. * x = - α + 2kπ.

Observation: sin x = sin α ⇒ cos x = cos α ⇒

Donc : ⇒

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sin 3x = sin . 3x =

π

6 6

π

+ 2kπ.

π

6

; (k∈Ζ)

3x = (π - ) + 2kπ.

⇒

x=

2kπ 18 3 5π 2kπ + x= 18 3

π

+

; (k∈Ζ)

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