Gibert

(SANS CALCULATRICE) Exercice 1 – Résoudre l’équation : ln(x 2+4x+3)=ln(-2x−5). Exercice 2 – Soit F la fonction définie sur [0;+õ[ par : F(x)= ⌠ ln(2+t)dt. ⌡ 0 Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes : a) F(0)=ln2 ? b) F′(x)= 1 ? 2+x c) F est croissante sur [0;+õ[ ? ORAL 3 (SANS CALCULATRICE) Exercice 1 – Résoudre l’inéquation : e 2x −e x −2>0. Exercice 2 – On définit la suite ( un ) pour tout entier naturel n par : un = ⌠ x 2 e -x dx . ⌡ 0 Montrer que la suite ( un ) est croissante. ORAL 4 (SANS CALCULATRICE) Exercice 1 − On pose : I= ⌠ xe -x dx . ⌡ 0 En utilisant une intégration par parties, calculer I. Exercice 2 – a) Résoudre dans C l’équation : 4z 2+8z+5=0 ; on notera z1 et z2 les affixes obtenues. b) On notera A et B les points d’affixes respectives z1 et z2 ; soit C le point d’affixe -2+ i . 2 Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle. ORAL 5 (SANS CALCULATRICE) Exercice 1 – Soit I= ⌠ e x dx ; montrer que : 1ÂIÂe. ⌡ 0

2

x

n

1

1

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Exercice 2 – Etudier le signe de : (lnx)2−2lnx−3. Exercice 3 – Résoudre l’équation différentielle (E’) : y′=y+2. ORAL 6 Exercice 1 – Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges. On tire simultanément trois boules de cette urne. a) Quelle est la probabilité d’obtenir trois boules blanches ? b) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule noire ? Exercice 2 - Résoudre l’inéquation : (2x−7)ln(x+1)Ã0. Exercice 3 - Résoudre dans Ê l′équation : z 2+z+1=0 ; écrire les solutions sous la forme algébrique puis trigonométrique. ORAL 7 Exercice 1 – On jette un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note A l’événement : « obtenir le 1 » Ò a) Déterminer : p(A) et p (A ). b) On jette maintenant le dé 5 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois l’événement A ? Exercice 2 – Soit f la fonction définie sur ]1;+õ[ par f(x)=x−lnx. Montrer que l’équation f(x)=2 admet une solution unique α sur ]1;+õ[.

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ORAL 8 (SANS CALCULATRICE) Exercice 1 – L’urne n°1 contient 4 boules noires et deux rouges ; l’urne n°2 contient 2 noires et une rouge, et la troisième contient 3 noires. On tire une boule de la première urne pour la disposer dans la seconde, puis une de la 2ème pour la mettre dans la troisième et enfin on tire une boule de l’urne n°3. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge dans la 3ème urne ? Exercice 2 – Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)=e -x cosx et Cf sa courbe représentative. a) Montrer que –e x Âf(x)Âe x b) En déduire que Cf admet une asymptote que l’on précisera. c) Calculer les coordonnées des points d’intersection de Cf avec les axes de coordonnées. ORAL 9 Exercice 1 – L’espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne les points A(1;2;3), B(3;−1;0) et C(0;0;−3). a) Montrer que les points ABC définissent un plan. b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). Exercice 2 – Soient A, B et C les points d’affixes respectives : a=2, b=3+i et c=2i. Calculer le rapport AB puis déterminer une mesure de l’angle ( Ä ; Ä ). AC AB AC ORAL 10

2 Exercice 1 – a) Déterminer les nombres a, b et c tels que, pour tout x réel : x =ax+b+ c x+2 x+2 1 x2 b) En déduire la valeur de l’intégrale I= ⌠  x+2 dx. ⌡ 0

Exercice 2 – a) Résoudre l’équation différentielle (E) : y′+2y=0. b) Indiquer la solution f de (E) telle que f(0)=3. ORAL 11 Exercice 1 : Pour n☻É, on pose : un = ⌠ x 2e -x dx. En utilisant deux intégrations par parties ⌡ 0 successives, exprimer un en fonction de n. Exercice 2 – Soient P et Q les plans d’équations respectives : 2x+3y+z−4=0 et x−y+5=0. a) Montrer que ces plans sont sécants. b) Déterminer le système d’équations paramétriques de leur droite d’intersection. ORAL 12 Exercice 1 – a) Démontrer que : lim xlnx=0.

x↔0 x>0 n

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b) Démontrer que : lim lnx−1 = 1 . x−e x↔ e e v0=2  Exercice 2 – On donne la suite ( vn ) définie pour tout entier naturel n par : v =1+ 1  n+1 vn  Démontrer par récurrence que pour tout n☻É, on a : 3 Âvn Â2. 2 ORAL 13 Exercice 1 – Soit la suite (un) définie pour tout n☻É par : un =ln( 1+e -n ) . a) Etudier les variations de f : x→ln( 1+e -x ) sur [0;+õ[. b) En déduire que la suite (un) est bornée. Exercice 2 – A et B sont deux points distincts de l’espace. On note I le milieu de [AB]. Ä Ä Ä Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que : (MA+MB).MA=0 ORAL 14 Exercice 1 – A est le point de coordonnées (1;2;−3) et P le plan d’équation 2x−y+z+1=0. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D passant par A et orthogonale au plan P. b) Calculer les coordonnées du point d’intersection de D et de P. Exercice 2 – Sur une route, un automobiliste rencontre successivement deux feux tricolores de circulation A et B. Ces feux fonctionnent de manière indépendante. La probabilité que le feu A soit vert est 3 et celle que le feu B soit vert est 1 . 4 2 Calculer la probabilité pour que l’automobiliste rencontre : a) deux feux verts. b) au moins un feu vert.

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ORAL 15 Exercice 1 – Dans un lycée de 400 élèves, une enquête a donné les résultats suivants : 200 élèves aiment la lecture, 180 aiment le sport et 60 n’aiment ni le sport, ni la lecture. On choisit au hasard un élève du collège. 1) Quelles sont les probabilités des événements : a) L : « l’élève aime la lecture » ? b) S : « l’élève aime le sport » ? c) « l’élève n’aime ni le sport ni la lecture » ? 2) En déduire : p(S∟L) puis p(S∩L) 3) Calculer pS (L), probabilité que l’élève aime la lecture, sachant qu’il aime le sport. Exercice 2 – Enoncer la définition de deux suites adjacentes. Que peut-on dire de deux suites adjacentes ? ORAL 16

e e Exercice 1 – Calculer les intégrales suivantes : I= ⌠ lnx dx et J= ⌠ lnx dx.  x  x ⌡ ⌡ 1 1

Exercice 2 – On définit la fonction f par f(x)= x pour x☻]0;1[ et f(0)=0. lnx Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. ORAL 17 Exercice 1 – La durée de vie X (en heures) d’un composant électronique est modélisé par la loi exponentielle de paramètre λ=0,0006. a) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie inférieure à 1000 heures ? b) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de marche au bout de 500 heures ? Exercice 2 – Soient A, B et C trois points du plan. On appelle G le barycentre de {(A,1);(B,2);(C,1)}. a) Indiquer deux méthodes différentes permettant de placer G. Ä Ä Ä b) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que ║MA+2MB+MC║=4. ORAL 18 Exercice 1 – 1. Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ . Calculer la valeur de λ sachant que la probabilité pour que X soit inférieur à 70 est égale à 0,05. http://oral.bac.free.fr – Préparation Oral Bac S 6 / 27

2. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,2. Calculer p(X=4) puis p(XÃ4). Exercice 2 – Donner l’écriture complexe de : a) la rotation de centre O et d’angle π . 3 b) l’homothétie de centre A(i) et de rapport 3. ORAL 19 Exercice 1 – a) On donne : z= 1+e iα , avec α☻]0;π[. 1−e Déterminer le module et un argument de z.

iα

↔ Conseil : mettre e

en facteur au numérateur et au dénominateur. π b) En posant f(α)=z, calculer l’intégrale⌠ | f(α)| dα. π ⌡

2

i

α 2

Exercice 2 – On choisit au hasard un nombre réel entre 0 et 10. a) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit 2 ? b) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit compris entre 1 et 2 ? ORAL 20 Exercice 1 - Soit f(x)= 1+2lnx . x2 a) Déterminer le domaine de définition de f. b) Déterminer les variations de f et construire son tableau de variation. Exercice 2 - Déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l’inégalité suivante : 3− 8  Â0 7   Exercice 3 - Soient deux événements A et B tels que p(A)=0,45 ; p(B)=0,6 et p(A∟B)=0,8. Ò Calculer p(A∩B) puis p (A∩ B ).

n

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Préparation à l’oral de rattrapage au Baccalauréat

SERIE S – CORRIGE DES ORAUX 1 A 20

ORAL 1 (SANS