Proba

s événements élémentaires de Ω vaut 1 2) La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

Exemples : 1) Reprenant les notations précédentes, on peut définir une probabilité par : Face Probabilité 1 2 3 4 5 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

La somme des probabilités des six événements élémentaires vaut bien 1. On aura alors p ( A ) = p

3 ({2;4;6}) = p ({2}) + p ({4}) + p ({6}) = 1 + 1 + 1 = 6 = 1 6 6 6 2

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2) Il est tout-à-fait possible de définir une autre probabilité par la donnée de : Face Probabilité 1 2 3 4 5 6

1 12

1 6

1 12

1 3

1 12

1 4

La somme des probabilités des six événements élémentaires vaut également 1. On aura alors p ( A ) = p

({2;4;6}) = p ({2}) + p ({4}) + p ({6}) = 1 + 1 + 1 = 3 6 3 4 4

On constate qu’il n’y a donc pas unicité de la probabilité, même si la 1ère définition semble plus « naturelle ».

Interprétation : La probabilité d’un événement traduit la fréquence de réalisation de celui-ci lors d’un grand nombre de répétitions de l’éxpérience aléatoire.

Propriétés : Une expérience aléatoire E d’univers Ω et deux ensembles A et B étant donnés, on a : 1) p ( ∅ ) = 0 et p ( Ω ) = 1 2) p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ) 3) p A = 1 − p ( A )

( )

Preuves : 1) L’événement ∅ ne contient aucune issue tandis que l’événement Ω contient tous les événements élémentaires. 2) Pour dénombrer les d’issues de A ∪ B , on dénombre celles de A, puis celles de B, et on minore le tout de celles de A ∩ B qui ont été comptées deux fois. 3) A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅ donc d’après ce qui précède, p A ∪ A = p ( A ) + p A − p A ∩ A .

(

)

( ) (

)

Or p A ∪ A = p ( Ω ) = 1

(

)

Définition - Propriété : Si tous les événements élémentaires de l’univers Ω d’une expérience aléatoire E ont même probabilité, on dit qu’on est en situation d’équiprobabilité. Si l’univers Ω est fini, alors pour tout événement A de cardinal fini, on aura : Card ( A ) nombre de cas favorables p ( A) = = nombre total de cas Card ( Ω )

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Preuve : En cas d’équiprobabilité, les événements élémentaires auront pour probabilité Notons A = ω1 ; ω 2 ;...ω p . On aura alors

p ( A ) = p (ω1 ) + p (ω 2 ) + .... p (ω p )

{

}

1 1 = . Card ( Ω ) N

1 1 1 1 p Card ( A) + + .... = p × = = p ( A) = N N N N N Card (Ω)

p fois

Attention ! Cette formule est fausse en cas de non équiprobabilité.

Dans l’exemple du dé truqué, avec : 1 2 3 4 Issue ωi Probabilité p (ωi ) 5 6

1 12

1 6

1 12

1 3

1 12

1 4 3 1 = car nous ne sommes 6 2

Si on note A l’événement « tirer un nombre pair », Il est INTERDIT d’écrire que p ( A) = pas en situation d’équiprobabilité

Arbre de probabilités : Une expérience comporte deux issues A et B avec On réalise deux fois cette expérience. On peut représenter les différents cas par un arbre de probabilités :

P ( A) = p

et

P( B) = q .

Un arbre de probabilités respecte trois règles : - la somme des probabilités des branches partant d'une même racine est toujours égale à 1 - la probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches de ce chemin - la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins correspondant à cet événement Notons E, F et G les événements suivants : E : "A est réalisé exactement deux fois" F : " A est réalisé exactement une fois" On a alors p( E ) = p 2 G : " A n'est jamais réalisé"

p(G ) = (1 − p)2

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p( F ) = 2 p(1 − p)

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On peut vérifier que la somme de ces trois probabilités est égale à 1. 3) Probabilités Conditionnelles Exemple d’introduction : Dans une classe de 22 élèves, il y a 14 garçons et 8 filles. Sur les 14 garçons, 4 sont majeurs. Sur les 8 filles, 3 sont majeures. On choisit un élève au hasard. On note G,F,M, M les événements « l’élève choisi est un garçons », « l’élève choisi est une fille », « l’élève choisi est majeur(e) », « l’élève choisi est mineu(e) ». On peut résumer la situation par le tableau statistique :

G F Total M 4 3 7 10 5 15 M Total 14 8 22 Puisque nous sommes en situation d’équiprobabilité, on peut écrire :

p (G ) =

14 7 4 , p(M ) = et p ( G ∩ M ) = . 22 22 22 4 22

Ainsi, la probabilité que l’élève choisi soit un garçon majeur est de p ( G ∩ M ) = Supposons maintenant que l’on sache que l’élève choisi est un garçon. La probabilité qu’il soit majeur est alors égale à 4 . 14

En effet, on change d’univers (on passe de l’univers des 22 élèves à celui des 14 garçons), donc de dénominateur de fraction. En remarquant que

4 p (G ∩ M ) 4 = 22 = , on définit donc la probabilité que l’élève choisi 14 14 p (G ) 22

soit majeur sachant que c’est un garçon.

De manière générale : Définition : Soient A et B deux événements de l’univers Ω d’une expérience aléatoire E avec p ( A ) ≠ 0 . On définit la probabilité de l’événement B sachant l’événement A (ou plus simplement « la probabilité de B sachant A») le nombre : p A ( B ) =

p( A ∩ B) p ( A)

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Sous les mêmes conditions, la formule ci-dessus s’écrit aussi p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p A ( B ) Arbre de probabilités conditionnelles : Règle : Sur un arbre de probabilités décrivant l’enchaînement de deux événements, les probabilités figurant sur les sous branches sont des probabilités conditionnelles :

Propriété (« formule des probabilités totales ») : Si A et B sont deux événements tels que p ( A ) ≠ 0 , alors : p ( B ) = p ( A) × pA ( B ) + p A × pA ( B )

Preuve : On applique ensuite la formule p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p A ( B ) L’événement B est la réunion des événements incompatibles A ∩ B et A ∩ B , donc p ( B ) = p ( A ∩ B ) + p A ∩ B .

( )

(

)

Définition : Une partition de Ω est un ensemble A1 , A2 ,..... An de parties de Ω deux à deux disjointes et dont

la réunion est Ω . Autrement dit A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An = Ω et Ai ∩ A j = ∅ pour i ≠ j

Propriété (« formule des probabilités totales ») : Si A1 , A2 ,..... An constitue une partition de Ω , alors :

p ( B ) = p ( A1 ) × p A1 ( B ) + p ( A2 ) × p A2 ( B ) + ..... p ( An ) × p An ( B )

Preuve : L’événement B est la réunion des événements incompatibles A1 ∩ B , A2 ∩ B , .... An ∩ B Page 6/11 jgcuaz@hotmail.com

Indépendance de deux événements : Intuitivement, dire que deux événements sont indépendants signifie que la réalisation de l’un n’influe pas sur celle de l’autre. Plus formellement : Définition : Soit A et B deux événements