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BD).

D’après le résultat de la question 1), la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (BD).

Finalement les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires à une même troisième droite : (BD) donc elles sont parallèles.

3) Calculer la longueur AB. (1,5 pt)

Les points A, C et E sont alignés ainsi que les points B, C et D.

De plus les droites (AB) et (DE) sont parallèles, on en déduit, d’après le théorème de Thalès, que : [pic] ou bien : [pic].

On en déduit que AB = [pic]= 5 cm.

Exercice 3 (3 points) Sujet de Brevet des collèges – Académie de Nantes 2000

La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire ABCD traversé par une route de largeur uniforme (partie coloriée).

[pic]

On donne :

AB = 100 m ; BC = 40 m ; AM = 24 m.

Les droites (AC) et (MN) sont parallèles.

Calculer :

1) La valeur arrondie au décimètre près de la longueur AC. (1 pt)

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADC, on a :

AC2 = AD2 + DC2 d’où AC2 = BC2 + AB2 = 402 + 1002 = 1600 + 10000 = 11600.

On en déduit que AC = [pic][pic] 107,7 m.

2) La longueur MB. (0,5 pt)

Comme les points A, M et B sont alignés dans cet ordre, on a : AB = AM + MB d’où

MB = AB – AM = 100 – 24 = 76 m.

3) La longueur BN. (1,5 pt)

Les points B, M et A sont alignés ainsi que les points B, N et C.

De plus les droites (MN) et (AC) sont parallèles, on en déduit, d’après le théorème de Thalès, que : [pic] ou bien : [pic].

On en déduit que BN = [pic]= 30,4 m.

Exercice 4 (4 points) Sujet de Brevet des collèges

Académie de Besançon, Dijon, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg 1998

Un cerf-volant a la forme du quadrilatère PAFC ci-dessous.

PA = PC = 2 m.

FA = FC = 1,5 m.

[pic] = 90°.

1) Faire une représentation du quadrilatère PAFC à l’échelle 1/20e. (1 pt)

2 m = 200 cm et [pic] donc, à l’échelle 1/20e, 2 m est représenté par 10 cm.

1,5 m = 150 cm et [pic] donc, à l’échelle 1/20e, 1,5 m est représenté par 7,5 cm.

[pic]

2) Démontrer que la droite (PF) est la médiatrice du segment [AC]. (0,5 pt)

Comme PA = PC, le point P est équidistant des points A et C donc il appartient à la médiatrice de [AC].

Comme FA = FC, le point F est équidistant des points A et C donc il appartient à la médiatrice de [AC].

On peut conclure que le médiatrice du segment [AC] est la droite (PF).

3) Montrer que AC = 2[pic] m. (1 pt)

D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APC, on a :

AC2 = AP2 + PC2 d’où AC2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8.

On en déduit que AC = [pic] = [pic] = [pic]= 2[pic]m.

4) Une des armatures [KR] est parallèle à la droite (FC) et a pour extrémité le point K tel que PK = 1,4 m.

Calculer la longueur de cette armature [KR]. (1,5 pt)

Les points P, K et C sont alignés ainsi que les points P, R et F.

De plus les droites (PK) et (FC) sont parallèles, on en déduit, d’après le théorème de Thalès, que : [pic] ou bien : [pic].

On en déduit que KR = [pic]= 1,05 m.

Exercice 5 (5 points) Aide interactive sur Internet

M est un point de [AB]. C et D sont des points du cercle de diamètre [AB], ces deux points n’appartiennent pas au même demi-cercle de diamètre [AB].

H est le projeté orthogonal de M sur (AC) et I est le projeté orthogonal de M sur (AD).

1) Faire une figure (0,5 pt)

[pic]

2) Que peut-on conjecturer sur les droites (HI) et (CD) ? (0,5 pt)

Les droites (HI) et (CD) sont parallèles.

3) Démontrer la conjecture. (4 pt)

On va utiliser une définition et quatre propriétés :

Définition : Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point d’intersection de cette droite avec celle qui est perpendiculaire à cette droite et qui passa par ce point.

Propriété 1 : D’un point d’un cercle on voit un diamètre sous un angle droit.

Propriété 2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième alors ces deux droites sont parallèles.

Propriété 3 : Propriété de Thalès

Si (BM) et (CN) se coupent en A et (MN) // (BC) alors [pic].

Propriété 4 : Réciproque de la propriété de Thalès

Si A, M, B et A, N et C sont alignés dans le même ordre et [pic] alors

(MN) // (BC)

Démonstration :

C est sur le cercle de diamètre [AB] (hypothèse).