Théorème de Bézout.
Cours : Théorème de Bézout.. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et MémoiresPar sebbad • 21 Novembre 2018 • Cours • 2 406 Mots (10 Pages) • 581 Vues
CHAPITRE 1
Théorème de Bézout.
Les deux nombres entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement
si il existe deux entiers relatifs non nuls u et v tels que au + bv = 1
La démonstration du théorème de Bézout est donnée en exercice (exercices 1.1 et 1.2).
Théorème de Gauss.
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et c un entier relatif. Si a divise bc et si a est
premier avec b, alors a divise c.
Démonstration. Si a et b sont premiers entre eux, par le théorème de Bézout, 1.1.9, il existe
des entiers relatifs u et v tels que au+bv = 1. En multipliant cette égalité par c, on trouve :
acu + bcv = c.
On sait que a divise bc donc a divise acu + bcv. Par suite a divise bien c.
Inegalite triangulaire applicable que si x et y sont de meme signe
Si x et y sont deux nombres réels, alors :|x| − |y|≤ |x − y|
Démonstration. Ce résultat est une conséqunce de l’inégalié triangulaire : pour tous a, b ∈
R,|a + b| ≤ |a| + |b|
Pour tout x, y ∈ R, on applique cette inégalité avec a = x − y et b = y.
Alors, |x| ≤ |x − y| + |y|, soit|x| − |y| ≤ |x − y|
On applique à nouveau l’inégalité triangulaire avec a = y − x et b = x.
Alors, |y| ≤ |y − x| + |x|, soit|y| − |x| ≤ |x − y|
Ces deux inégalités impliquent bien |x| − |y|≤ |x − y|
Propriété d’Archimède.
L’ensemble R des nombres réels est archimédien, c’est-à-dire que pour tout a ∈ R∗
+ et pourtout b ∈ R∗+, il existe n ∈ N∗ tel que na > b.
Démonstration. On procède par l’absurde : si na ≤ b pour tout n ∈ N∗, alors l’ensemble
A = {na | n ∈ N∗} est une partie de R non vide et majorée par b, elle admet donc une
borne supérieure α.
On a alors (n + 1)a ≤ α pour tout n ∈ N∗, ce qui entraine na ≤ α − a pour tout n ∈ N∗.
Le nombre α−a est donc un majorant de A strictement inférieur à α, ce qui est impossible.
Par suite, il existe bien un entier n ∈ N∗ tel que na > b.
CHAPITRE 2
- Une suite convergente admet au plus une limite.
Démonstration. Supposons qu’une suite convergente (un)n∈N admette deux limites distinctes
l1 et l2. On se donne ε < |l2 − l1| 2 et on considére les voisinages de l1 et l2 dans R :
]l1 − ε, l1 + ε[ et ]l2 − ε, l2 + ε[.
Alors il existe N1 et N2 tels que :
si n > N1, alors un ∈]l1 − ε, l1 + ε[ et si n > N2, alors un ∈]l2 − ε, l2 + ε[.
On en déduit que si n > max{N1,N2}, alors on a à la fois :
un ∈]l1 − ε, l1 + ε[ et un ∈]l2 − ε, l2 + ε[.
Ceci n’est pas possible puisque ces intervalles sont disjoints.
On obtient donc une contradiction et la suite convergente (un)n∈N ne peut admettre qu’une
seule limite.
- Toute suite convergente vers une limite l ∈ R est bornée.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite convergente vers l ∈ R. On se donne le voisinage
]l − 1, l + 1[ de l dans R. Alors il existe N ∈ N tel que pour n > N, un ∈]l − 1, l + 1[.
Posons m = inf{u0, u1, ..., uN, l − 1} et M = sup{u0, u1, ..., uN, l + 1}.
Alors, pour tout n ∈ N, m ≤ un ≤ M. Et la suite (un)n∈N est bien bornée.
- Si une fonction admet une limite quand x → x0, celle-ci est unique.
Démonstration. Supposons qu’une fonction f admette deux limites distinctes l1 et l2 quand
x → x0. On se donne ε < |l2 − l1| 2 et on considère les voisinages de l1 et l2 dans R :
]l1 − ε, l1 + ε[ et ]l2 − ε, l2 + ε[.
Alors il existe W1(x0) et W2(x0) tels que :
si x ∈ W1(x0), alors f(x) ∈]l1 − ε, l1 + ε[ et si x ∈ W2(x0), alors f(x) ∈]l2 − ε, l2 + ε[.
On en déduit que si x ∈ W1(x0) ∩W2(x0), alors on a à la fois :
...