Winter Is Coming

3 Activités d’approche (page 88)

3.1 Une nouvelle primitive

1 1 1. a) F ( x ) = – --- est une primitive de f ( x ) = ---- sur x x2 ] 0 ; + ∞[.

■ 38

3.2. Calculer avec la fonction ln

1. a) Il suffit de compter les carreaux. b) ln ( 3 ) ≈ 1,1 ln ( 4 ) ≈ 1,4 .

c) Puisque ln ( 4 ) ≈ 1,4 et que ln ( 2 ) ≈ 0,7 ; on peut supposer que k = 2 .

1

B. Corrigé

1 1. a) T a pour équation y = --- x . e b) Pour tout x x f '(x) f (x) c) Pour tout x d) Pour tout x 0 , f (x) 0 , f (x) 0. 0 , donc ln ( x ) x --- . e 0 + 1 1 e–x 0 , f ' ( x ) = --- – --- = ----------- . - x e ex e 0 0 – +∞

d) Les aires

1 ---2

1 --- . d x et x

2 1

1 --- . d x sont égales. x

1 1 Ainsi S ( 2 ) = S ⎛ --- ⎞ , donc ln ⎛ --- ⎞ = – ln ( 2 ) . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2. ln ( 2 ) ≈ 0,693… , ln ( 3 ) ≈ 1,098… , ln ( 4 ) ≈ 1,386… 1 et ln ⎛ --- ⎞ ≈ – 0,693 … ⎝ 2⎠

3.3 La propriété fondamentale du ln

1. a) a × b = 2 393 664,46 . b) ln ( a ) ≈ 7,935 ln ( b ) ≈ 6,753 ln ( a ) + ln ( b ) ≈ 14,688 ln ( a × b ) ≈ 14,688 . Donc, il semble que ln ( a × b ) = ln ( a ) + ln ( b ) . 2. a) a × b = 6,963 ln ( a ) ≈ 0,046 ln ( b ) ≈ 1,987 ln ( a ) + ln ( b ) ≈ 1,94 ln ( a × b ) ≈ 1,94 . Donc, il semble que ln ( a × b ) = ln ( a ) + ln ( b ) . 3. On conjecture que ln ( a × b ) = ln ( a ) + ln ( b ) , avec a 0 et b 0.

Ainsi est en-dessous de T sur ] 0 ; + ∞ [ . 2. a) T ' a pour équation y = ex – 2 . b) On pose g ( x ) = ln ( x ) – ( ex – 2 ) pour x ∈ ] 0 ; + ∞ [ . 1 1 – ex Ainsi, g' ( x ) = --- – e = -------------- , x x d’où le tableau de variation : x g' ( x ) g(x) 0 + 1 --e 0 0 – +∞

3.4 Courbe représentative de ln

1. a) Lorsque x s’approche de 0, ln ( x ) semble s’approcher de – 2.

c) Pour tout x 0 , g ( x ) 0 , donc ln ( x ) ex – 2 . Ainsi est en-dessous de T ' sur ] 0 ; + ∞ [ .

4.2 Vrai ou Faux

A. Notions utilisées

• Lecture graphique. • Calculs de dérivées de fonctions utilisant ln. • Équation d’une tangente. • Lien entre fonction et primitive.

Ici, lorsque x s’approche de 0, ln ( x ) semble s’approcher de – 4,5. c) Au fur et à mesure que l’on modifie la fenêtre graphique (par exemple 0 X 0,1 et – 8 Y 1 , ln ( x ) « descend » de plus en plus bas sur l’axe des ordonnées. On conjecture que lim ln ( x ) = – ∞ .

x→0

B. Corrigé

a) Faux : lim 2x – 1 = 0 et lim ln ( X ) = – ∞ ,

1 x → ---2 X→0

donc lim f ( x ) = – ∞ (limite de fonctions composées).

1 x → ---2

b) Faux : lim 2x – 1 = + ∞ et

x→+∞ x→+∞

2. a) • ln ( 100 ) ≈ 4,6 • ln ( 10 7 ) ≈ 16,1 • ln ( 9 × 10 99 ) ≈ 230,1 .

x→+∞

• ln ( 100 000 ) ≈ 11,5 • ln ( 15 × 10 13 ) ≈ 30,3

X→+∞

lim ln ( X ) = + ∞ ,

donc lim f ( x ) = + ∞ (limite de fonctions composées). 1 c) Vrai : Pour tout x de --- ; + ∞ : 2 2 2 1 f ' ( x ) = -------------- = --------------------- = ------------- . 2x – 1 1 1 ⎛ x – --- ⎞ x – --2 ⎝ 2 2⎠ d) Vrai : f ( 1 ) = ln ( 1 ) = 0 ; f ' ( 1 ) = 2 . T1 : y = f ' ( 1 ) ( x – 1 ) + f ( 1 ) , donc T1 : y = 2x – 2 . 1 c) Faux : Pour tout x de --- ; + ∞ : 2 2 F ' ( x ) = 2 ln ( 2x – 1 ) + ( 2x – 1 ) × -------------- + 0 2x – 1 Chapitre 4 - Fonction logarithme népérien 39 ■

b) On conjecture que lim ln ( x ) = + ∞ . c) La croissance de la fonction ln est très lente.

4 Travaux dirigés (page 100)

4.1 Tangente à la courbe représentative de ln

A. Notions utilisées

• Équation d’une tangente. • Études de fonctions utilisant ln. • Position d’une courbe par rapport à une droite.

F ' ( x ) = 2 ln ( 2x – 1 ) + 2 F ' ( x ) ≠ f ( x ) , donc F n’est pas une primitive de f.

x f '(x) f (x)

0 – +∞

1 0 +

+∞ +∞

4.3 Somme des fonctions ln et inverse

A. Notions utilisées

• Représentations graphiques de fonctions usuelles et de la somme de deux fonctions. • Étude de limite. • Calculs de dérivées. • Propriétés graphiques de la primitive d’une fonction.

1 d) Voir 1. a). 3. a) Pour tout x 0 :

B. Corrigé

1. a) et b)

1 F ' ( x ) = 1 × ln ( x ) + ( 1 + x ) × --- – 1 x 1 F ' ( x ) = ln ( x ) + --- + 1 – 1 x F ' ( x ) = f ( x ) , donc F est une primitive de f sur ] 0 ; + ∞ [ . b) La fonction f reste toujours positive sur ] 0 ; + ∞ [ , donc la fonction F reste toujours croissante sur cet intervalle. Il s’agit donc du troisième écran.

3

4.4 Le logarithme décimal

A. Notions utilisées

• Propriétés algébriques de ln. • Étude de k × ln sans utuliser de dérivée. • Utilisation de la touche log de la calculatrice.

2

1

1

B. Corrigé

ln ( 1 ) ln ( 10 ) a) log ( 1 ) = ---------------- = 0 ; log ( 10 ) = ---------------- = 1 ; ln ( 10 ) ln ( 10 ) 1 ln ⎛ -----⎞ ⎝ 10⎠ ln ( 0,1 ) log ( 0,1 ) = ----------------- = ---------------- = – 1 . ln ( 10 ) ln ( 10 ) ln ( 10 n ) n ln ( 10 ) log ( 10 n ) = ------------------- = ------------------- = n . ln ( 10 ) ln ( 10 )

O

1

1 2 3

e :y= 1 x : y = ln (x) : y = 1 + ln (x) x y = ln ( x ) y2 ≈ – 0,7 0 ≈ 0,7 1 ≈ 1,4 1 y = --- + ln ( x ) x y3 = y1 + y2 ≈ 1,3 1 ≈ 1,2 ≈ 1,4 ≈ 1,6

x x 1 --2 1 2 e 4

1 g = --x y1 2 1 1 --2 ≈ 0,4 1 --4

ln ( ab ) ln ( a ) + ln ( b ) b) log ( ab ) = ---------------- = --------------------------------- = log ( a ) + log ( b ) . ln ( 10 ) ln ( 10 ) a ln ⎛ ----⎞ ⎝ b⎠ a ln ( a ) – ln ( b ) ⎛ ----⎞ = ---------------- = --------------------------------- = log ( a ) – log ( b ) . log ⎝ b⎠ ln ( 10 ) ln ( 10 ) 1 1 c) log ( x ) = ---------------- ln ( x ) . Or ---------------- 0 , donc la fonction ln ( 10 ) ln ( 10 ) log a le même sens de variation que ln sur ] 0 ; + ∞ [ : elle est strictement croissante. ln ( x ) d) lim log ( x ) = lim ---------------- . x→0 x → 0 ln ( 10 ) Or lim ln ( x ) = – ∞ et ln ( 10 )

x→0

0.

1 2. a) lim --- = 0 et lim ln ( x ) = + ∞ , x→+∞ x x→+∞ donc lim f ( x ) = + ∞ .

x→+∞

Donc lim log ( x ) = – ∞ .

x→0 x→+∞

lim log ( x ) =

x→+∞

x → + ∞ ln ( 10 )

ln ( x ) lim ---------------- . 0.

1 + x ln ( x ) b) f ( x ) = ------------------------- pour tout x x

x→0 x→0

Or lim ln ( x ) = + ∞ et ln ( 10 ) 0. Donc lim log ( x ) = + ∞ .

x→+∞

Or lim 1 + x ln ( x ) = 1 et lim x = 0 . Or x 1 + x ln ( x ) 0 , donc lim ------------------------- = + ∞ . x x→0

x 0

x f '(x) f (x)

0 +

+∞ +∞ –∞

c) Pour tout x

■