Les Usa Une Puissance Fragile

ieu

Année

ROC

QCM VF

Divisibilité ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Congruences

PGCD

PPCM

Nombres premiers

Équations de Diophante

Géométrie

Session 2001 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 Amérique du Sud Nouvelle-Calédonie Antilles-Guyane France Amérique du Nord Antilles-Guyane Centres étrangers France Inde Nouvelle-Calédonie Polynésie Antilles-Guyane Asie Inde La Réunion Liban Polynésie Nouvelle-Calédonie Amérique du Sud Inde Amérique du Nord Antilles-Guyane Asie Centres étrangers France Liban Polynésie Exercice Poitiers Reims Antilles-Guyane Besançon Clermont-Ferrand Lille 1 Lille 2 Lyon 1 Lyon 2 Montpellier Nantes Paris Rennes Japon Nancy-Metz Orléans-Tours Poitiers Bordeaux Inde Montpellier Besançon Centres étrangers I Montpellier Nantes Nice Reims déc 2001 déc 2001 sept 2001 sept 2001 juin 2001 juin 2001 juin 2001 juin 2001 juin 2001 juin 2001 juin 2001 Session 2000 sept 2000 juin 2000 juin 2000 juin 2000 juin 2000 juin 2000 déc 1999 nov 1999 nov 1999 juin 1999 juin 1999 juin 1999 juin 1999 juin 1999 juin 1999 juin 1999 1982 1982 1982 1981 1981 1981 1981 1981 1981 1981 1981 1981 1981 1981 1980 1980 1980 1980 1979 1979 1979 1978 1978 1978 1978 1978 1978 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Années 70 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Années 80 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Session 1999 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Frédéric Demoulin

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N° 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138

Lieu Strasbourg Aix-en-Provence Caen Lyon 1 Lyon 2 Aix-Marseille Antilles-Guyane Caen Dijon Nancy Poitiers Rennes Rouen Dijon Aix-en-Provence 1 Aix-en-Provence 2 Bordeaux 1 Bordeaux 2 Cambodge et Laos Clermont-Ferrand Inde Limoges Lyon Montpellier Nancy Nantes Orléans 1 Orléans 2 Paris Poitiers 1 Poitiers 2 Rennes 1 Rennes 2 Rouen Strasbourg 1 Strasbourg 2 Strasbourg 3 Toulouse 1 Toulouse 2 Toulouse 3 Toulouse 4

Année 1978 1977 1977 1977 1977 1976 1976 1976 1976 1976 1976 1976 1976 1973 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970 1970

ROC

QCM VF

Divisibilité ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Congruences

PGCD

PPCM

Nombres premiers

Équations de Diophante

Géométrie

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

⋆ ⋆ ⋆

⋆

⋆

Frédéric Demoulin

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Session 2009

Frédéric Demoulin

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Exercice 1

Nouvelle – Calédonie, novembre 2009 (5 points)

Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Soit n un entier naturel non nul. 1. On considère l’équation notée (E ) : 3x + 7y = 102n où x et y sont des entiers relatifs a. Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tels que 3u + 7v = 1. En déduire une solution particulière x0 ; y 0 de l’équation (E ). b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de (E ). 2. On considère l’équation notée (G) : 3x 2 + 7y 2 = 102n où x et y sont des entiers relatifs a. Montrer que 100 ≡ 2 (7). Démontrer que si (x ; y) est solution de (G), alors 3x 2 ≡ 2n (7).

b. Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division euclidienne de x par 7 Reste de la division euclidienne de 3x 2 par 7. 0

1

2

3

4

5

6

c. Démontrer que 2n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

Exercice 2

1.

France / La Réunion, septembre 2009 (5 points)

a. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11. b. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210 par 11. c. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22 009 + 2 009 par 11.

2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère, pour tout entier naturel non nul n, le nombre A n = 2n + p. On note dn le PGCD de A n et A n+1 . a. Montrer que dn divise 2n . b. Déterminer la parité de A n en fonction de celle de p. Justifier. c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p. En déduire le PGCD de 22 009 + 2 009 et 22 010 + 2 009.

Frédéric Demoulin

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Exercice 3

Amérique du Nord, juin 2009 (5 points)

Soit A l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle [1 ; 46]. 1. On considère l’équation : (E ) : 23x + 47y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. a. Donner une solution particulière x0 ; y 0 de (E ). b. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) solutions de (E ). c. En déduire qu’il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x ≡ 1 (47). 2. Soient a et b deux entiers relatifs. b. En déduire que si a 2 ≡ 1 (47), alors a ≡ 1 (47) ou a ≡ −1 (47). 3. a. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que p × q ≡ 1 (47). Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté inv(p), appartenant à A tel que p × i nv(p) ≡ 1 (47). Par exemple : inv(1) = 1 car 1 × 1 ≡ 1 (47), inv(2) = 24 car 2 × 24 ≡ 1 (47), inv(3) = 16 car 3 × 16 ≡ 1 (47). c. Montrer que 46! ≡ −1 (47). a. Montrer que si ab ≡ 0 (47), alors a ≡ 0 (47) ou b ≡ 0 (47).

b. Quels sont les entiers p de A qui vérifient p = inv(p) ?

Exercice 4

Asie, juin 2009 (5 points)

1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que : N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) a. Vérifier que 239 est solution de ce système. b. Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer que N peut s’écrire sous la forme N = 1 + 17x = 5 + 13y où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x − 13y = 4. d. En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que N = 18 + 221k. e. Démontrer l’équivalence entre N ≡ 18 (221) et N ≡ 5 (13) N ≡ 1 (17) . c. Résoudre l’équation 17x − 13y = 4 où x et y sont des entiers relatifs.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. a. Existe-t-il un entier naturel k tel que 10k ≡ 1 (17) ?

b. Existe-t-il un entier naturel l tel que 10l ≡ 18 (221) ?

Frédéric Demoulin

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