Probabi

e peuvent se produire en même temps

Exemple : Lors d’un lancé de dé à 6 faces numéroté de 1 à 6, « Obtenir un nombre pair. » et « obtenir un nombre impair. » sont deux évènements incompatibles

II) Probabilité

1) Définition intuitive

La probabilité d’un évènement A représente les chances que l’évènement se réalise lors d’une expérience aléatoire. Cette probabilité se note P(A)

Exemples : Exemple 1 Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ? Soit A l’évènement « Obtenir un nombre impair » P(A) = = car nous avons : « 3 chances sur 6 d’obtenir un nombre impair »

Exemple 2 Un sac contient 8 jetons dont 3 rouges, 2 bleus, 1 vert et 2 jaunes. Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ? Soit B l’évènement : « Le jeton tiré est rouge » P(B) = car nous avons : « 3 chances sur 8 de tirer un jeton rouge »

2) Calculer une probabilité

Lorsque les résultats d’une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d’un évènement A est : P(A) =

à é è

Exemples : Exemple 1 Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ? Soit A l’évènement « Obtenir un nombre impair » Les issues possibles sont: 1 ; 3 et 5. Il y a donc 3 cas favorables Il y a 6 cas possibles : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6 Donc P(A) = P(A) = à é è = =

Exemple 2 Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. Quelle est la probabilité d’obtenir un 5 ? Soit B l’évènement « Obtenir un 5 » L’issue possible est: 5. Il y a donc 1 cas favorables Il y a 6 cas possibles : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6 Donc P(B) = à é è =

P(B) =

3) Propriétés

● La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 : Lorsque ce nombre est égal à 1 : on dit que l’évènement est certain Lorsqu’il est égal à 0 : on dit que l’évènement est impossible ● La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égal à 1

Exemple : Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. La probabilité d’obtenir un 1 est P(A) = La probabilité d’obtenir un 2 est P(B) = La probabilité d’obtenir un 3 est P(C) = La probabilité d’obtenir un 4 est P(D) = La probabilité d’obtenir un 5 est P(E) = La probabilité d’obtenir un 6 est P(F) = et P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) + P(F) = + + + + + = =1

La probabilité d’obtenir un 7 est : P(G) = 0 : Cet évènement est impossible La probabilité d’obtenir un nombre entier positif inférieur ou égal à 6 est P(H) = 1 L’évènement H est certain

4) Probabilité et fréquence

Lorsqu’une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un évènement devient proche de sa probabilité

Exemple : Nous lançons une pièce de monnaie, on note son résultat : Pile ou Face L’évènement A : « Obtenir Pile » a pour probabilité : P(A) =

.

Ainsi, si on réalise, un grand nombre de fois cette expérience, par exemple 5 000 lancés on n’obtiendra pas forcément 2 500 Pile, mais la fréquence d’apparition sera proche de 2 500.

5) Evènements incompatibles

a) Définition

Lorsque deux évènements ne peuvent pas se réaliser en même temps on dit qu’ils sont incompatibles

Exemple : Nous lançons une pièce de monnaie, on note son résultat : Pile ou Face Les évènements : A : « Obtenir Pile » et B : « Obtenir face » sont incompatibles

b) Propriété :

Lorsque deux évènements sont incompatibles, la probabilité pour que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités

Exemple : Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. Soit A l’évènement : « Obtenir un 1 » et soit B l’évènement : « Obtenir un nombre pair » . Ces deux évènements sont incompatibles. P(A) = et P(B) =

.

La probabilité d’obtenir un 1 ou d’avoir un nombre pair est : P(A) + P(B) = +

.= . .

La probabilité est donc de

6) Evènements contraires

La probabilité d’un évènement contraire noté Ā d’un évènement A est : P(Ā) = 1 – P(A)

Exemples : Exemple 1 : Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. Soit A l’évènement « Obtenir un nombre impair » L’évènement contraire noté Ā est : « Obtenir un nombre pair » Nous avons déjà vu dans les exemples précédents que P(A) = P(Ā) = =

donc

Exemple 2 : Nous lançons un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6. Soit A l’évènement « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » L’évènement