Matematica equazioni e disequazioni

MATEMATICA

DISEQUAZIONI

si definisce disequazione ogni disuguaglianza che contiene almeno una lettera detta incognita, della quale si cercano i valori che rendono la disuguaglianza vera.

Una disequazione si dice intera quando non compaiono incognite al denominatore, fratta quando compare almeno un’incognita al denominatore. Una disequazione si dice invece numerica quando oltre all’incognita e a eventuali costanti non compaiono altri parametri si dice invece letterale quando oltre all’incognita e ad eventuali costanti compare qualche altro parametro.

Si definiscono intervalli tutti gli insieme rappresentati sulla retta reale da semirette (inclusa o esclusa l’origine) o da segmenti (inclusi o esclusi gli estremi) e possono essere:

illimitati; se è rappresentato da una semiretta

limitato; se è rappresentato da un segmento

aperto; se non comprende i suoi estremi

chiuso; se comprende i suoi estremi

Il primo principio di equivalenza per le disequazioni afferma che sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione un numero o un'espressione algebrica definita per tutti i valori reali delle variabili che vi compaiono si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Il secondo principio di equivalenze per le disequazioni afferma che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per un numero si ottiene una disequazione equivalente a condizione che

il verso rimanga lo stesso se il numero è positivo;

il verso cambi se il numero è negativo

Per sistema di disequazioni si intende un insieme di due o più disequazioni, tutte nella stessa incognita, che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente.

Risolvere un insieme di disequazioni significa trovare l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni che lo compongono.

VALORI ASSOLUTI

Dato un numero reale x, il suo valore assoluto corrisponde al numero stesso se x è maggiore o uguale a 0, mentre -x se il x è inferiore a zero.

Il valore assoluto di un numero è sempre non negativo ed è nullo solo se il numero è 0.

Proprietà del valore assoluto:

|-x|=|x|

|x|^2 = x^2

|x*y|=|x|*|y|

|x/y|=|x|/|y|

|x+y|<=|x|+|y|

|x|=|y| se e solo se x= + o - y

|x| <= |y| se e solo se x^2<=y^2

SISTEMI LINEARI

Si definisce un sistema di equazioni un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente.

Una soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite è una coppia ordinata di numeri reali che soddisfa entrambe le equazioni del sistema.

Un sistema è:

determinato: se ha un numero finito di soluzioni

indeterminato: se ha un numero infinito di soluzioni

impossibile: se ha infinite soluzioni

frazionario: se almeno una equazione è fratta

intero: se tutte le equazioni sono intere

Il grado di un sistema è dato dal prodotto tra i gradi delle equazioni che lo compongono.

I metodi di risoluzioni di un sistema di equazioni sono:

il metodo di sostituzione= si risolve una delle due equazioni rispetto ad un’incognita e questa viene detta equazione risolvente, poi si risolve l’equazione risolvente. Si sostituisce il valore trovata nell’altra equazione e si ricava l’incognita che era ancora da determinare.

Metodo del confronto= si risolvono entrambe le equazioni rispetto ad una variabile e poi si eguagliano le espressioni ottenute. Si conclude poi con il metodo di sostituzione

Metodo di addizione e sottrazione= Si riducono le equazioni in forma normale e poi si fa si che i termini simili delle equazioni siano incolonnati. Nel caso una coppia di termini con la stessa incognita siano già uguali o opposti si procede a sommarli o a fare una sottrazione determinando così il valore di una delle incognite. Se invece non sono uguali o opposti si moltiplicano entrambi i membri delle equazioni per fattori opportuni. Ricavato il valore di una delle due incognite si può procedere con il metodo di sostituzione.

Metodo di Cramer= dopo aver svolto tutti i calcoli e ridotto le equazioni in forma normale bisogna creare 3 matrici:

nella prima si trova il determinante di x facendo la differenza tra il prodotto tra il termine noto della prima equazione per il coefficiente di y della seconda - il termine noto della prima per