Trigonométrie

TRIGONOMETRIE

1. Cercle trigonométrique et notion de radian

On se place dans un repère orthonormé [pic 1]

1. Cercle trigonométrique

Définition :

Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ce sens est appelé sens direct ou sens trigonométrique. 

[pic 2]

Le périmètre de ce cercle est égal à [pic 3]

[pic 4]

1. Enroulement de la droite numérique

Soit  la perpendiculaire à (OI) passant par I. Cette droite peut-être graduée en de telle sorte que son origine 0 coïncide avec I et on l’oriente dans le sens de O vers J. Cette droite est appelée droite numérique. [pic 5]

On peut enrouler cette droite sur le cercle trigonométrique de la façon suivante :

La demi-droite correspondant aux réels positifs s’enroule selon le sens direct et la demi-droite correspondant aux réels négatifs s’enroule selon le sens indirect.

[pic 6]

Propriétés : [pic 7]

• A tout nombre a de la droite numérique on associe un unique point M du cercle trigonométrique appelé point image.
• Soit a un réel et M le point image du cercle associé à a. Alors le point M est associé à tous les réels de la avec . [pic 8][pic 9]

Conséquence : Deux réels x et x’ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si et seulement si [pic 10]

1. Mesure d’un angle en radian

Définition :

Soit M un point du cercle trigonométrique associé à un nombre réel x. On dit que x est une mesure en radian de l’angle au centre , orienté de I vers M. [pic 11]

[pic 12]

Propriété : [pic 13]

La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.

On a le tableau de conversion suivant :

Exemple 1 :

Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessous les images par enroulement de la droite numérique des réels suivants :  ;  ;  ;20[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

1. Cosinus et sinus d’un nombre réel

Dans ce paragraphe, on considère un cercle trigonométrique C dans un repère orthonormé [pic 23]

1. Repérage d’un point sur le cercle

Définitions :

Soit x un réel et M le point de C associé à x.

L’abscisse du point M dans le repère  est le cosinus du réel x, noté cos x[pic 24]

L’ordonnée du point M dans le repère  est le sinus du réel x, noté sin x[pic 25]

[pic 26]

Les coordonnées du point M sont donc (cos x ; sin x)

1. Propriétés [pic 27]

Pour tout réel x on a

•  et [pic 28][pic 29]
•  pour tout k entier relatif. [pic 30]
• [pic 31]

Démonstration :

• Pour tout réel x cos x et sin x sont compris entre -1 et 1 car ce sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée d’un point situé sur le cercle trigonométrique de rayon 1.
• Par enroulement de la droite numérique autour du cercle trigonométrique les points images des réels  (avec k entier relatif) et x sont confondus, car ajouter  revient à faire un nombre entier de tours de cercle dans le sens direct ou indirect.[pic 32][pic 33]
• Sur la figure ci-dessous d’après le théorème de Pythagore on a dans le triangle OHM :

OM²=OH²+HM²

La longueur OM est égale à 1 car M appartient au cercle.

De plus OH= d’où le résultat [pic 34]

[pic 35]

1. Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle

Cette définition est cohérente et prolonge la définition donnée dans un triangle rectangle pour le cosinus et le sinus d’un angle aigu