Fonction du polynôme du second degré

1. Polynôme du second degré

a. Définition

        On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres réels, et a ≠ 0.

Exemples :         A(x) = x² + 8x – 9   et   B(x) = -x² +  x +  sont des polynômes du second degré.

b. Différentes formes d’un polynôme

        Le polynôme A(x) peut s’écrire sous plusieurs formes :

• Forme développée : A(x) = x² + 8x – 9
• Forme factorisée : A(x) = (x – 1)(x + 9)
• Forme canonique : A(x) = (x + 4)² – 25

        On appelle forme canonique d’un polynôme du second degré P(x) toute écriture où la variable x n’apparaît qu’une seule fois.

Exemple :

        On veut mettre sous forme canonique A(x) = x² + 8x – 9.

                A(x) = x² + 8x – 9        

                A(x) = x² + 2 × 4 × x  – 9        (1) On fait apparaître une expression du type « a² ± 2ab… »

                A(x) = x² + 2 × 4 × x + 4² – 4² – 9        (2) On rajoute/enlève un « + b² » pour pouvoir factoriser.

                A(x) = x² + 2×4x + 4² – 16 – 9        (3) On reconnaît une identité remarquable que l’on va factoriser.

                        (4) On obtient A(x) sous forme canonique.

Cas général : Mise sous forme canonique d’un polynôme P.

                        P(x) = ax² + bx + c

                ⇔        P(x) = a x +  ))        On met « a » en facteur pour que le coefficient de x soit 1.

                ⇔        P(x) = a× × x +  ))        (1)

                ⇔        P(x) = a× × x + )) – )) +  ))        (2)(3)

                ⇔        P(x) = a)) –  +  ))        On va mettre au dénominateur le terme constant.

                ⇔        P(x) = a)) –  +  ))        

                ⇔        P(x) = a)) – ))        (4)

Propriété :

        La forme canonique d’un polynôme P(x) = ax² + bx + c est )) – )))

II. Factorisation d’un polynôme du second degré

a. Polynôme du type ax² + bx

        Le polynôme P(x) = ax² + bx se factorise de façon évidente sous la forme P(x) = x(ax + b)

Exemple : A(x) = 3x² + 5x = x(3x + 5)

b. Polynôme du type ax² + c

        P(x) = ax² + c =  a)) = a))

1er cas :  Si   > 0, alors il admet une racine carrée et on peut écrire :

        P(x) = a[x² – ))] (différence de deux carrés) et donc P(x) = a))))

Exemple :

        A(x) = 4x² – 9 = 4)) = 4))))

2nd cas : Si   < 0, alors on ne peut pas factoriser ce polynôme.

Exemple :

        B(x) = x² +  4 n’est pas factorisable.

c. Cas général : P(x) = ax² + bx + c

        On a vu précédemment qu’on peut écrire P(x) = a)) – ))

        Ce qui se ramène au cas b. et on va essayer d’écrire )) –  comme la différence de deux carrés. Pour alléger les écritures, on poser Δ = b² – 4ac, qu’on appelle le discriminant.

        Donc P(x) = a)) – Δ))

1er cas :  Si  Δ > 0, alors il admet une racine carrée et on peut écrire :

        P(x) = a)) – Δ²;(2a)²))))

• P(x) = a + Δ;2a)))) – Δ;2a))))
• P(x) = aΔ;2a))))Δ;2a))))

2ème cas : Si  Δ = 0, alors on peut écrire :

        P(x) = a))

3ème cas : Si  Δ < 0, alors on ne peut pas factoriser P.

III. Equation du second degré

a. Solutions d’une équation du second degré.

Théorème :

        Soit l’équation ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont réels et a ≠ 0

        On note Δ le nombre Δ = b² – 4ac.

• Si Δ > 0, l’équation a deux solutions x1 = Δ;2a)) et x2 = Δ;2a))
• Si Δ = 0, l’équation a une seule solution « double » x0 =
• Si Δ < 0, l’équation n’admet aucune solution réelle

Conséquence :

        On considère le polynôme P(x) = ax² + bx + c.

• Si Δ > 0, P se factorise sous la forme : P(x) = a(x – x1)(x – x2)

                        🡪 deux racines distinctes.

• Si Δ = 0, P se factorise sous la forme : P(x) = a(x – x0)²

                        🡪 une racine double ou deux racines confondues.

• Si Δ < 0, P ne se factorise pas dans 

Exemple :

On considère le polynôme P(x) = 2x² – 3x – 9, qu’on souhaite factoriser.