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Arithématique : la divisibilité

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Par   •  11 Mai 2021  •  Cours  •  1 388 Mots (6 Pages)  •  451 Vues

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ARITHMÉTIQUE

DIVISIBILITÉ

Les critères de divisibilité :

Un nombre entier est divisible :

-par 2, si son chiffre des unités est pair

-par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5

-par 10, si son chiffre des unités est 0

-par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3

-par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9

NOMBRES PREMIERS

Un nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui même.

Ex: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 71; 73; 79; 83

...

NOMBRES PREMIERS

Le nombre est il premier ?

Soit N un nombre entier. Si N n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égale à √N alors N est premier

Ex:  107 est il premier ?

10 < √107 < 11

107 est divisible ni par 2; 3; 5;7

C’est donc un nombre premier

NOMBRES PREMIERS

Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers.

Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Ex: 60 = 2*2*3*5

= 5*3*2*2

= 2*5*3*2

APPLICATION AUX FRACTIONS

On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de diviseur commun ( autre que 1)

60  =  2*2*3*5

126     2*3*3*7

= [pic 1]

=[pic 2]

DÉTERMINER L’ENSEMBLE DES DIVISEURS D’UN NOMBRE

Soit N un nombre entier

On liste les « petits » diviseurs de N compris entre 1 et √ de

N qu’on associe par couple « petit/grand »

Ex:  N = 28

5 < √28 < 6        Les petits diviseurs vont jusqu’à 5

EXERCICE SUR LA CLÉ DE LUHN

Pour vérifier la validité d’une carte on prend les 15 premiers chiffres de la cartes et on double ce de rend impair. On divise le total par 10 et on vérifie si c’est comme la clé de Luhn. Clé de Luhn

4520   3373   4310   5504[pic 3]

8540   6353   8320   1504   =   57

57/10= 5,7

Donc la carte n’est pas valide

LA MOYENNE SIMPLE

Moyenne d’une série statistique = somme des valeurs

effectif de la série

Ex:    8   11   16   17   23     une série statistique[pic 4]

8 +  11 +  16 +  17 +  23 = 75

75/5 = 15

LA MOYENNE PONDÉRÉE

[pic 5]Moyenne d’une série statistique = somme des valeurs effectif de la série

Note

4

6

18

7

17

12

12

18

Coefficient

1

1

4

2

4

2

4

2

Ex:  

Moyenne = [pic 6]

=  =   13,6

LA MÉDIANE

La médiane est la valeur milieu de l’ensemble des valeurs ordonnées.

4

6

18

7

17

12

12

18

[pic 7]

[pic 8]LA MÉDIANE

La médiane est la valeur milieu de l’ensemble des valeurs ordonnées.


L’ÉTENDUE

L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.

4

6

18

7

17

12

12

18

Ex:  Étendu  =  18 - 4

=   14

DÉVELOPPER ET FACTORISER

🌀* (🟧        +  🟧 )  =  🌀* 🟧        + 🌀* 🟧        c’est une distributivité simple

PRODUIT    développer     SOMME [pic 9]

🌀* 🟧        + 🌀* 🟧        = 🌀* (🟧        +  🟧 )   on a factorisé 🌀 SOMME    factoriser         PRODUIT[pic 10]

ANGLES

La somme des trois angles d’un triangles vaut toujours 180°.

Triangle isocèle [pic 11]

2 cotés de même longueurs + 2 angles de même mesure c’està-dire adjacent

TRIANGLES ÉGAUX

[pic 12]Deux triangles sont égaux si on peut les superposer par une transformation isométrique ( translation, rotation ou symétrie). En conséquence, ils ont les mêmes angles et les même longueurs.

Triangle égaux par une symétrie axiale

TRIANGLES SEMBLABLES

Deux triangles sont semblables si leur côtés sont proportionnels ou , ce qui est équivalent et s’il ont les mêmes angles. [pic 13]

UTILISER LA LETTRE

La lettre permet de s’exprimer, un rôle indéterminé, la lettre peut désigner une inconnue à travers des équations. La lettre peut aussi avoir le rôle d’une variable (on la remplace par une valeur)

OUTIL DE COMMUNICATION

Langage Math:        Langage Français:

x²                              Carré d’un nombre

2a              Double d’un nombre

b+1                            La somme d’un nombre et de 1

x        Quotient y      

Somme d’un cube et du

W³+4z        quadruple d’un nombre

OUTIL DE COMMUNICATION

n et k sont deux entiers

Que peut on dire d’un entier qui s’écrit sous forme:

2n ?   Nombre pair 2k+1 ?   Nombre impair n2+k2 ?   Somme de deux nombres premier consécutifs

12 est le triple de 36 ?    C’est un multiple de 3  

SIMPLIFICATION D’ÉCRITURE

0+x= x        a*b + b*a = a2 +  b2

1*x= x

0*x + x*1= x

(x + y) * (0+1)= xy 0*x*x*x2= 0 y*1-x*0= 0 x + x= x2 y - y + y= y x2 + x2 = 2x2

a* a =  a2

4   4     16

PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ:

[pic 14]SAVOIR RECONNAITRE UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

La courbe représentatif d’une situation de proportionnalité, doit être une droite passant par l’origine du repère.


PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ:

NOTION DE FONCTION

1

T

1

T

T

1

T

1

4T + 4

UTILISER LA PROPRIÉTE DE PYTHAGORE

Le triangle ABC est rectangle en A.

La propriété de Pythagore s’applique:[pic 15]

BC2 = AC2 +  AB2

=  52 +  82

=  25 + 64

= 89

Donc BC= √ 89=  environ 9.43398

5cm

UTILISER LA RÉCIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

Propriété: Si A , alors B[pic 16][pic 17]

...

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