Probabilités et moyenne

Problème 4

    Question 1

Il faut d`abord déterminer la probabilité de sacs qui pèsent moins de 6 kg.

Nous cherchons P(X<6)

Avec la Transformation centrée réduite Z= on a :[pic 1]

                P(X<6)=P(Z<[pic 2]

Dans la table de la loi normale centrée réduite, z=1,3 correspond a 0,4082 qui est aussi pour

z=-1,3.

La probabilité cherchée est :

               P( Z<-1,33 ) = 0,5 – 0,4082 = 0,0918 ou 9,18%

La proportion de sacs qui pèsent  moins de 6kg est de 9,18%.

        Question 2

1. La première proposition

Nous cherchons P(X<6) avec une proposition pour le poids moyen de 6,5 kg.

Avec la Transformation centrée réduite Z= on a :[pic 3]

              P(X<6)=P(Z<[pic 4]

z=1,66 correspond a 0,4515 dans la table de la loi normale centrée réduite.

             Donc P(Z<-1,66)= 0,5 - 0,4515 = 0,0485 ou 4,85%

Donc 4,85% serait la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur l’étiquette.

1. La deuxième proposition

Nous cherchons P(X<6) avec une proposition pour garder le poids moyen a 6,4 kg et passer l’écart-type a 0,2 kg.

Avec la Transformation centrée réduite Z= on a :[pic 5]

              P(X<6)=P(Z<[pic 6]

Z=2 correspond à 0,4772 dans la table de la loi normale centrée réduite.

             Donc P(Z<-2)= 0,5 - 0,4772 = 0,0228 ou 2,28%

Donc 2,28% serait la proportion de sacs qui pèsent moins que le poids inscrit sur l’étiquette.

1. Proposition a recommandée

Pour réduire la proportion de sacs on là recommandé la deuxième proposition, soit de conserver le poids moyen a 6,4 kg et de faire passer l’écart-type de 0,3 a 0,2, la proportion de sacs est moins grande si les sacs pèseraient moins de 6 kg.

      Question 3

On veut : P(x<6)=0.1

On peut utiliser le changement de variable   et la table de la loi normale centrée réduite.[pic 7]

       P[pic 8]

       P est équivalent à P[pic 9][pic 10]

on aura alors 1-P[pic 11]

                          P 0,9[pic 12]

On sait que π (1.29) est approximative 0.9, donc

                         [pic 13]

                         ; m = 5,48[pic 14]

Donc le propriétaire doit régler la machine  à un poids moyen de 5,5 kg.

         Question 4

On cherche P(x<6)