Dissértation

(2) Si les ordres de H1 et de H2 sont finis et premiers entre eux, d´criver l’intersection H1 ∩H2 . e Exercice 4 (G´n´rateurs de Sn ). e e (1) Soit σ ∈ Sn une permutation de {1, . . . , n} et soit (a1 , . . . , ak ) un cycle de longueur k de Sn , avec a1 , . . . , ak ∈ {1, . . . , n}. Que vaut le conjugu´ σ(a1 , . . . , ak )σ −1 ? e Sn . • S1 = {(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n)}. • S3 = {(1, 2), (1, 2, 3, . . . , n)}. • S2 = {(1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n)}. 2. Anneaux D´finition 4 (Anneau). Un anneau (A, +, .) est un ensemble A muni de deux lois de composition e • (A, +) est un groupe ab´lien, e • la loi . est associative, internes +, . : G × G → G telles que (2) Montrer que les familles suivantes sont des syst`mes de g´n´rateurs du groupe sym´trique e e e e

• la loi . est distributive par rapport ` la loi +, i.e. pour tout a, b, c ∈ A on a a.(b + c) = a.b + a.c a et (a + b).c = a.c + b.c. Si la loi . admet un ´l´ment neutre, on parle d’anneau unitaire. Si la loi . est commutative, on ee parle d’anneau commutatif. Un ´l´ment de A est dit inversible s’il l’est pour la loi . de A. ee Le neutre de la loi + est souvent not´ 0 et le neutre de la loi . est souvent not´ 1. e e D´finition 5 (Anneau int´gre). Un anneau est dit int´gre s’il n’a pas de diviseur de z´ro, i.e. si e e e e a.b = 0 alors a = 0 ou b = 0. D´finition 6 (Sous-anneau). Un sous-ensemble B ⊂ A d’un anneau A est un sous-anneau de A e D´finition 7 (Id´al). Un sous-ensemble I ⊂ A d’un anneau A est un id´al de A si e e e

si les restrictions de + et de . ` B en font un anneau. a

• (I, +) est un sous-groupe de (A, +),

• pour tout x ∈ I et a ∈ A, on a a.x ∈ I et x.a ∈ I.

D´finition 8 (Morphisme d’anneaux). Soient (A, +, .) et (A′ , +′ , .′ ) deux anneaux. Un morphisme e d’anneaux est une application ϕ : A → A′ telle que ϕ(x+y) = ϕ(x)+′ ϕ(y) et ϕ(x.y) = ϕ(x).′ ϕ(y) Le noyau d’un morphisme d’anneaux ϕ est ´gal ` e a Ker ϕ := ϕ−1 ({0′ }) = {x ∈ A; ϕ(x) = 0′ }. Exercice 5 (Image d’un id´al). e Soit f : A → B un morphisme d’anneaux commutatifs unitaires.

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pour tout x, y ∈ A.

(1) Montrer que l’image r´ciproque f −1 (I ′ ) d’un id´al I ′ de A′ est encore un id´al de A. Que e e e peut-on dire du noyau de f ? (2) Si on suppose que f soit surjectif, montrer que l’image de tout id´al I de A par f est un e id´al de B. e (3) Donner un exemple de morphisme f : A → B et d’id´al I de A tel que f (I) ne soit pas e un id´al de B. e Exercice 6 (Entiers de Gauss et entiers quadratiques). (1) Montrer que Z[i] := {z = a + ib; a, b ∈ Z} est un sous-anneau de C (appel´ anneau des e entiers de Gauss). √ √ (2) Soit d ∈ N. Montrer que Z[ d] := {x = a + b d; a, b ∈ Z} est un sous-anneau de R. √ e (3) Montrer que 2 n’est pas un carr´ dans Z[ 3]. En d´duire qu’il n’existe pas de morphismes e √ √ d’anneaux de Z[ 2] dans Z[ 3]. 3. Corps D´finition 9 (Corps). Un corps est un anneau commutatif (K, +, .) [en France] tel que (K−{0}, .) e soit un groupe.

Exercice 7 (Id´aux d’un corps). Montrer qu’un anneau commutatif A diff´rent de {0} est un e e corps si et seulement si ses seuls id´aux sont {0} et A. e Exercice 8 (Le corps des nombres complexes). Montrer que l’ensemble des matrices de la forme a −b avec a, b ∈ R est un sous-anneau commutatif de M2 (R). Montrer que c’est un corps b a isomorphe ` C, le corps des nombres complexes. a Exercice 9 (Corps des fractions). la relation : Soit A un anneau commutatif unitaire int`gre. Sur l’ensemble X := A × (A − {0}), on consid`re e e (n, d) R (n′ , d′ ) si nd′ = n′ d. (1) Montrer que R est une relation d’´quivalence. e n la classe de (n, d). d (2) Montrer que les deux lois de composition interne suivantes sont bien d´finies e On note Frac(A) l’ensemble des classes d’´quivalence. Et on ´crit e e n2 n1 d2 + n2 d1 n1 + := d1 d2 d1 d2 et n1 n2 n1 n2 . := . d1 d2 d1 d2

(3) Montrer que Frac(A) est un corps. On appelle ce corps, le corps des fractions de A. (4) Que se passe-t-il si A n’est pas int`gre ? e (5) D´crire les corps de fractions Frac(Z), Frac(K[X]), avec K un corps, et Frac(K). e

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(6) On consid`re l’application suivante e   ι: A  a

→ Frac(A) a → 1

Montrer que ι est un morphisme d’anneaux.

(7) (Propri´t´ universelle des corps de fractions)