Exercice Type Bac

nt alignés sur une même demi-droite d’origine O.

b) Exprimer [pic]en fonction de [pic]. Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du cercle de centre O et de rayon r .

[pic]= [pic]= [pic].

Si M est un point du cercle de centre O et de rayon r alors son affixe z est telle que [pic]= r .

D’après le résultat précédent, on en déduit que l’affixe z’de son image par f vérifie : [pic]=[pic].

Donc l’image par f du cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre O et de rayon [pic].

c) Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que

OP = 3 et construire géométriquement son image P’ par f .

On sait d’après la question a) que O, P et P’ sont alignés sur une même demi-droite d’origine O donc on trace la demi-droite [ OP) .

On se trouve dans le cas particulier de la question b) avec r = 3 d’où P’ se trouve sur le cercle de centre O et de rayon [pic]. Voir la figure ci dessous.

[pic]

5) On considère le cercle C1 de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point de C1, distinct de O, appartient à la droite D d’équation x = 2 .

[pic]

z’ = [pic]

z’ = [pic].

La partie réelle de z’ vaut [pic]= 2 donc l’image d’un point de C1, autre que O, appartient à la droite D d’équation x = 2.

Autre façon (qui ne permet pas complètement de conclure) :

On peut montrer que l’antécédent par f de tout point de la droite D se trouve sur C1.

Si Q’est un point quelconque de la droite D alors son affixe est de la forme z’= 2 + iy .

D’après la question 3) l’antécédent Q de Q’ par f est unique et il a pour affixe z = [pic].

On a donc z = [pic]. On montre que Q[pic]C1 car JQ = [pic].

On démontre ainsi que tout point de D a son antécédent par f sur C1 mais on ne sait pas si l’ensemble de tous ces antécédents de points de D par f correspond à tout le cercle C1, privé de O.

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La construction de la droite parallèle [KL] passant par J permet d’obtenir à son intersection avec l’axe des ordonnées la valeur de[pic] .

(configuration de Thalès)

Par des symétries centrales on obtient ensuite le point de l’axe des ordonnées correspondant à [pic].

C1 est le translaté du cercle trigonométrique C0 par la translation de vecteur 1[pic].

Comme tous les points du cercle C0 ont une affixe de la forme [pic], on en déduit que tous les points de C1 ont une affixe de la forme z = 1 +[pic].

L’affixe z’ de l’image d’un point de C1, autre que O, est : z’ = [pic].