Le Fonction Expononciel
Rapports de Stage : Le Fonction Expononciel. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et Mémoirespitulatif : courbe représentative :
[pic]
IV – Equations différentielles f’ = kf
Théorèmes : Preuve 10
• Les fonctions f dérivables sur telles que f’ = kf où k est un réel fixé sont les fonctions de la forme [pic] où C est une constante réelle.
• Pour tous réels a et k, il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f’ = kf et f(0) = a.
Remarque :
Pour tout réel k et tout couple de réels (x0 ; y0) le théorème peut se généraliser de la façon suivante : il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f’ = kf et f(x0) = y0.
En effet, supposons que f soit dérivable sur et vérifie f’ = kf alors f est de la forme [pic].
[pic].
Interprétation graphique :
Parmi toutes les courbes représentatives des solutions de f’ = kf il n’en existe qu’une seule qui passe par le point de coordonnées (x0 ; y0).
Exemple :
• Résoudre l’équation différentielle y’ = -2y. Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur par [pic] avec C constante réelle.
• Parmi les solutions f précédentes, déterminer celle qui vérifie f(1) = 1.
[pic].
La solution est [pic].
[pic] : [pic]
[pic] : [pic]
[pic] : [pic]
[pic] : [pic]
[pic] : [pic]
[pic]
V – Equations différentielles [pic]
Théorème : Preuve 11
On considère a et b deux réels fixés (a non nul). On considère l’équation différentielle (E) : [pic].
• Les solutions définies et dérivables de (E) sont les fonctions de la forme :
[pic] avec C constante réelle.
• Pour tout couple [pic] de réels, il n’existe qu’une seule fonction f solution de (E) qui vérifie [pic].
Exemple :
On considère l’équation différentielle [pic].
Ses solutions sont de la forme [pic] avec C constante réelle.
Parmi celles-ci, il n’y en a qu’une dont la courbe passe par le point [pic] :
[pic] ssi [pic] ssi [pic].
La fonction recherchée est [pic].
[pic] : [pic]
[pic] : [pic]
[pic] : [pic]
[pic]
...