Logarhites
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Loi du logarithme d'une puissance; Loi du logarithme d'un produit; Loi du logarithme d'un quotient; Loi du changement de base. Logarithme de 1 Logatithme de b en base b = 1
Ces lois sont très utiles lorsqu'on souhaite simplifier une expression logarithmique ou résoudre une équation logarithmique. Notation utilisée Tout au long de cette fiche, on utilisera certaines variables: Les lettres b et c seront utilisées pour représenter la base des logarithmes. La lettre A sera utilisée pour représenter un exposant appliqué à un argument. Les lettres M et N seront utilisées pour représenter des arguments de logarithmes. Voici les principales lois des logarithmes : 1) 2) 3) 4)
log b M A =Alog b M
Loi du logarithme d’une puissance : Loi du logarithme d’un produit :
log b MN=log b M+log b N
Loi du logarithme d’un quotient :
log b (M÷N)=log b M-log b N
Loi du changement de base :
log b M=log c M÷log c b
5) 6) Remarque : Lors de la division, les 2 logarithmes doivent avoir la même base. Logarithme de 1
log b 1=0
Logatithme de b en base b = 1
log b b=1
Et maintenant les voici décrites en détails.
1) Loi du logarithme d'une puissance
Cette propriété s'exprime mathématiquement de la façon suivante:
log b M A =Alog b M
Exemple Simplifier l'expression suivante: log 2 8 On sait qu'on peut exprimer le chiffre huit en fonction du chiffre deux: log 2 2
3
En appliquant la loi du logarithme d'une puissance, on arrive à l'expression suivante: 3log 2 2 Le logarithme de b en base b est toujours égal à 1 (voir les deux propriétés supplémentaires des logarithmes , plus bas). Par conséquent, on obtient: 3(1)=3 Cette expression est égale à 3.
2) Loi du logarithme d'un produit
Cette propriété s'exprime mathématiquement de la façon suivante:
log b MN=log b M+log b N
Exemple Décomposer l'expression suivante en une somme de logarithmes: log 10 15 On utilise le fait que 15=3×5. On obtient log 10 (3×5) On utilise la loi du logarithme d'un produit pour décomposer l'expression: log 10 3+log 10 5 Comme 3 et 5 sont des nombre premiers, la décomposition est terminée.
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3) Loi du logarithme d'un quotient
Cette propriété s'exprime mathématiquement de la façon suivante:
log b (M÷N)=log b M-log b N
Exemple Décomposer l'expression suivante en une différence de logarithmes, puis simplifier l'expression obtenue: log 5 ¼ On utilise la loi du logarithme d'un quotient pour décomposer l'expression: log 5 1-log 5 4 On sait que le logarithme de 1 est égal à 0 (voir une des propriétés supplémentaires des logarithmes plus bas). On obtient donc -log 5 4 Ceci est le résultat recherché.
4) Loi du changement de base
Cette propriété s'exprime mathématiquement de la façon suivante:
log b M=log c M÷log c b
Cette propriété est particulièrement utile lorsqu'on veut obtenir la valeur d'un logarithme à l'aide d'une calculatrice. Il est important de savoir que la plupart des calculatrices ne peuvent calculer les logarithmes qu'en base 10 ou en base naturelle (e). Exemple À l'aide d'une calculatrice, déterminer la valeur approximative de l'expression suivante: log 3 5 Il est impossible, à l'aide de la plupart des modèles de calculatrices, d'effectuer directement cette opération. Il faudrait transformer cette expression afin d'obtenir un logarithme en base 10. Afin d'arriver à ce résultat, il faut utiliser la loi de changement de base. On obtient: log 10 5÷log 10 3 On peut calculer cette expression à l'aide d'une calculatrice. On obtient ≈1,46. De plus, il existe deux autres propriétés des logarithmes qui sont souvent très utiles:
5) Le logarithme de 1, peu importe la base (sauf en base 1, car le log en base 1 est inderterminé), est égal à 0
Cette propriété s'exprime mathématiquement de la façon suivante:
log b 1=0
Exemple Simplifier l'expression suivante: log 7 ((3+5)÷6×2×3÷2÷4) On effectue les opérations constituant l'argument du logarithme. On obtient log 7 1 Comme le logarithme est toujours égal à 0, on obtient log 7 1=0
6) Le logarithme de b en base b est égal à 1
Cette propriété s'exprime mathématiquement de la façon suivante:
log b b=1
Exemple Simplifier l'expression suivante:
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log 3 3+2log 5 5 Comme log 3 3=1 et log 5 5=5, on peut réécrire cette expression sous la forme suivante: 1+2(1)=3 Cette expression est donc égale à 3.
La réduction d’expressions logarithmiques à l’aide des propriétés des logarithmes
Dans cette section, il sera question de la réduction d'expression logarithmiques. Pour la résolution d'équations logarithmiques, on peut consulter la fiche 2562 . Afin de réduire (ou simplifier) des expressions logarithmiques, il faut appliquer successivement une ou plusieurs propriétés des logarithmes. Bien qu'il n'existe pas d'algorithme (de recette à appliquer) qui fonctionne à tout coup pour simplifier de telles expressions, il est souvent utile de se faire un plan de démarche avant de se lancer dans les calculs. Avant d'effectuer une opération, il faut savoir à quoi elle servira! Avec un peu de pratique, il devient de plus en plus facile de simplifier les expressions logarithmiques. Exemple synthèse (contient cinq des six propriétés) Simplifier l'expression suivante de manière à obtenir une expression qui soit seulement en fonction de log2, log3, log5 et de constantes. log25 + log24 + log¼ - log6 + log8 + log10 + log9 Étape 1 On remarque que le sixième terme est égal à 1, comme le logarithme de b en base b est égal à 1. On obtient log25 + log24 + log¼ - log6 + log8 + 1 + log9 Étape 2 À l'aide de la loi du logarithme d'un quotient, on simplifie le troisième terme. log¼=log1 - log4 Comme log1=0, on obtient pour l'expression complète log25 + log24 -log4 - log6 + log8 + 1 + log9 Étape 3 Les nombres 24, 4, 8 et 9, présents dans les premier, troisième, cinquième et septième termes respectivement peuvent être représentés à l'aide d'une base et d'un exposant. On obtient log 5 2 + log24 -log 2 2 - log6 + log 2 3 + 1 + log 3
2
Étape 4 À l'aide de la loi du logarithme d'une puissance, on vient placer les exposants à l'avant de chaque terme. 2 log5 + log24 - 2 log2 - log6 + 3 log2 + 1 + 2 log3 Étape 5 À l'aide de la loi du logarithme d'un produit, on décompose l'argument du second terme (24) et l'argument du quatrième terme (6). 2log5 + log (3×2 3 ) -2log2 - log (3×2) + 3log2 + 1 + 2log3 2log5 + log3 +3log2 -2log2 - log3 -log 2 + 3log2 + 1 + 2log3 Étape 6 On regroupe les termes semblables 2log5 + 2log3 + 3log2 + 1 Ceci est le résultat recherché. Ceci n'est pas le seul résultat possible (il serait possible, par exemple, de regrouper des logarithmes de 2 et de 5 pour former
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