Mths

s int´grales suivantes e e

α b a β β

f (t)dt + 2 .

β β

f (x)dx −

f (w)dw +

α b

f (t)dt + 2

α

f (p)dp

Ici, nul n’est besoin de s’int´resser a l’ensemble de d´finition et a la contie ` e ` nuit´ des int´grales puisque la fonction f est d´finie et continue sur [a; b]. e e e Soit ξ cette somme d’int´grales. e

α b a β β

ξ=

β

f (t)dt + 2

β α

f (x)dx −

b β

f (w)dw +

α a b β

f (t)dt + 2

α β

f (p)dp f (t)dt

α β

ξ=

β

f (t)dt + 2

β

f (t)dt −

b

f (t)dt +

α α b

f (t)dt + 2

b

ξ=− ξ=

a

f (t)dt + 2

α α β β

f (t)dt +

a β

f (t)dt − f (t)dt + 2

f (t)dt + 2

β b β b α b

f (t)dt f (t)dt

β

f (t)dt + 2

α α

f (t)dt − f (t)dt +

α β

f (t)dt −

ξ=

a

f (t)dt +

α β b

f (t)dt

β

ξ=

a

f (t)dt +

β b

f (t)dt

ξ=

a

f (t)dt 4

4.2

Exercice 2

D´terminer l’int´grale de la fonction f : x → 2220x + 2341ex entre x = 2 e e et x = 3. Soit ξ cette int´grale. e Avant de calculer l’int´grale, il faut s’occuper de l’ensemble de d´finition et e e de la continuit´ de la fonction f . f est d´finie et continue sur R (voir les e e cours “Les fonctions r´elles - Intervalles et ensemble de d´finition” e e et “La continuit´ - G´n´ralit´s”), donc f admet des int´grales. De plus, e e e e e les bornes x = 2 et x = 3 appartiennent a R, donc ξ existe. `

3

ξ=

3 2

f (t)dt

ξ=

2

2220t + 2341et dt

Pour ´viter d’effectuer des calculs inutilement compliqu´s, appliquer la proe e pri´t´ de la constante ind´pendante permet d’´crire : ee e e

3 3

ξ = 2220

2

tdt + 2341

3 2

et dt

t2 ξ = 2220 + 2341[et ]3 2 2 2 9 4 + 2341(e3 − e2 ) ξ = 2220 − 2 2 ξ = 1110(9 − 4) + 2341(e3 − e2 ) ξ = 5550 + 2341(e3 − e2 ) L’int´grale de la fonction f entre x = 2 et x = 3 est ξ = 5550 + 2341(e3 − e2 ). e 5

4.3

Exercice 3

1 1 1 e ≤ ≤ √ , d´terminer au moyen 2 x x x du calcul int´gral un encadrement de ln(2). e Sachant que pour tout r´el x > 1, e ln(2) = ln(2) − ln(1) ln(2) = [ln(t)]2 1 2 1 ln(2) = dt 1 t Or, pour tout r´el x > 1, e propri´t´ de comparaison ee

2

1 1 1 ≤ ≤ √ , donc on peut ´crire d’apr`s la e e 2 x x x

2 2 1 1 1 √ dt dt ≤ dt ≤ 2 t 1 t 1 1 t 2 √ 2 1 ≤ ln(2) ≤ 2 t − 1 t 1 √ 1 − + 1 ≤ ln(2) ≤ 2 2 − 2 2 √ 1 ≤ ln(2) ≤ 2( 2 − 1) 2 √ 1 Un encadrement de ln(2) s’´crit ≤ ln(2) ≤ 2( 2 − 1). e 2

6

4.4

Exercice 4

D´terminer l’int´grale de la fonction f : x → 5x4 − 8x3 + 3x2 − 4x + 1 e e entre x = 0 et x = α ∈ R+ . Soit ξ cette int´grale. e Avant de calculer l’int´grale, il faut s’occuper de l’ensemble de d´finition et e e de la continuit´ de la fonction f . f est d´finie et continue sur R (voir les e e cours “Les fonctions r´elles - Intervalles et ensemble de d´finition” e e et “La continuit´ - G´n´ralit´s”), donc f admet des int´grales. De plus, e e e e e les bornes x = 0 et x = α appartiennent a R, donc ξ existe. `

α

ξ=

α 0

f (t)dt

ξ=

0

(5t4 − 8t3 + 3t2 − 4t + 1)dt

Pour ´viter d’effectuer des calculs inutilement compliqu´s, appliquer la proe e pri´t´ de la constante ind´pendante permet d’´crire : ee e e

α α α α α

ξ=5

0

t dt − 8

α

4

t dt + 3

0 α 0

3

t dt − 4

α