Rsenal

itesse d’un mobile caractérise la variation de sa position au cours du temps. Soit deux positions du mobile P1 et P2 à deux instants t1 et t2 (t1 < t2). La vitesse moyenne du mobile entre les instants t1 et t2 est donnée par :

vm (t1 , t 2 ) ≡ x 2 − x1 t 2 − t1 = ∆x ∆t

(*)

où x1 et x2 sont les coordonnées des points P1 et P2. ∆x est le déplacement du mobile pendant l’intervalle de temps [t1, t2]. Remarques :

• •

A la fois ∆x et vm ont un signe. Ils seront tous deux positifs si le mobile se déplace dans le sens de l’axe x, négatifs dans le cas contraire. Sauf dans le cas d’un mouvement à vitesse constante, vm dépend du choix de t1 et de t2.

(*)

Le symbole ≡ signifie “est défini par”

I. 3 I.2.3 : La vitesse instantanée Etant donnée la remarque 2) ci-dessus, la vitesse moyenne ne peut servir à caractériser la vitesse d’un mobile à un instant donné, t. En effet, vm (t, t2) dépend en général de t2. Cette grandeur caractérise d’autant mieux la manière dont le mobile se déplace à l’instant t que l’intervalle ∆t = t2 – t est petit. Dès lors on définit la vitesse instantanée à l’instant t par :

v(t) ≡ lim = x(t + ∆t) − x(t) ∆x = lim ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 dx(t) dt

La vitesse instantanée d’un point matériel est la dérivée de sa coordonnée spatiale x par rapport au temps t, à l’instant considéré(*) :

v ≡ dx dt

(I.1)

Par conséquent, pour retrouver la position d’un mobile à chaque instant, à partir de sa vitesse instantanée, on calcule l’intégrale : x(t) = x(t 0 ) + ∫ v(t ') dt '

t0 t

(I.2)

Ceci implique la connaissance de la position du mobile à un instant donné t0, soit : x(t0). I.2.4 : L’accélération L’accélération d’un mobile caractérise la variation de sa vitesse au cours du temps. Procédant comme pour la vitesse, on définit l’accélération à un instant t donné par :

a(t) ≡ lim

v(t + ∆t) − v(t) dv(t) = ∆t dt ∆t → 0

(*)

Pour alléger la notation, nous omettrons d’indiquer explicitement la dépendance en t des variables cinématiques

lorsque ce n’est pas indispensable à la compréhension : x = x(t), v = v(t), etc …

I. 4 L’accélération instantanée d’un mobile est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps, à l’instant considéré :

a ≡ dv dt

(I.3)

Par conséquent, pour retrouver la vitesse d’un mobile à chaque instant, à partir de son accélération, on calcule l’intégrale :

t

v(t) = v(t 0 ) + ∫ a(t ') dt '

t0

(I.4)

Ceci implique la connaissance de la vitesse du mobile à un instant donné t0, soit : v(t0).

I.2.5 : Deux cas particuliers de mouvement rectiligne : le MRU et le MRUA a) Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)

Le MRU est un mouvement rectiligne à vitesse constante :

v(t) = v0

Par conséquent :

(I.5)

•

a =

dv 0 (en dérivant)  → dt

a=0

(I.6)

•

t dx (en int égrant ) = v 0  x(t) = x(t 0 ) + ∫ v 0 dt ' → → dt t

0

x(t) = x0 + v0 (t - t0), pour le MRU,

où x0 ≡ x(t0). C'est une équation, représentée par une droite (voir figure I.3).

(I.7)

Figure I.3.

I. 5

b) Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA ou MRUV)

Le MRUA est un mouvement rectiligne à accélération constante :

a = a0

Par conséquent :

t dv ( en int égrant) = a0  v(t) = v(t 0 ) + ∫ a0 dt ' → → dt t

0

(I.8)

•

v(t) = v0 + a0 (t - t0), pour le MRUA,

où v0 ≡ v(t0)

(I.9)

•

dx(t) (en int égrant ) = v 0 + a0 (t − t 0 )  → dt x(t) = x0 + ∫ [ v 0 + a0 (t '− t 0 )] dt ' →

t0 t

x(t) = x0 + v 0 (t − t 0 ) +

1 a (t − t 0 )2 , pour le MRUA 2 0

(I.10)

La fonction x(t) est du second degré et la courbe à laquelle elle correspond est une parabole (voir figure I.4).

Figure I.4. En éliminant t – t0 entre les relations (I.9) et (I.10), on trouve la relation entre la variation de vitesse et le déplacement, valable uniquement pour le MRUA : (I.9)

→

t − t0 =

v − v0 a0

Dans (I.10) :

x − x0 = v 0

= 1 2a0

( v − v0 ) v − v0 1 + a0 2 a0 2 a0

2 ( v 2 − v0 )

2

I. 6 Donc :

v2 = v02 + 2a0 (x – x0), pour le MRUA

(I.11)

I.2.6 : Unités

L’unité de longueur du système international d’unités (S.I.) est le mètre (m), celle du temps, la seconde (s). Par conséquent, dans le SI, les vitesses se mesurent en mètre par seconde (m/s) et les accélérations en mètre par seconde au carré (m/s2).

I.3 : Cinématique à plusieurs dimensions

I.3.1 : Repérage du mobile

Dans le cas d’une trajectoire quelconque dans l’espace à 3 dimensions ou dans un plan, la position du mobile est entièrement déterminée par son vecteur position à chaque instant

t : r( t ) .

Figure I.5.

r(t) = OP(t)

Ceci implique le choix d’une origine O. Dans un référentiel Oxyz, le vecteur position peut s’exprimer en fonction de ses coordonnées cartésiennes : x, y, et z.

I. 7

Figure I.6. x = OPx y = OPy z = OPz où Px, Py et Pz sont respectivement les projections du point P sur les axes Ox, Oy et Oz. Le vecteur position r s’écrit en fonction de ses coordonnées :

r = x 1x + y 1y + z 1z

(I.12)

où 1x , 1y et 1z sont des vecteurs de longueur unité dirigés suivant les axes Ox, Oy et Oz.

I.3.2 : La vitesse instantanée

Tout naturellement, on généralise la notion de vitesse instantanée vue dans le cas à une dimension, de la manière suivante :

v(t) ≡ lim

dr(t) ∆r = dt ∆t ∆t → 0

où ∆r ≡ r(t + ∆t) − r(t) est le vecteur déplacement entre les instants t et t + ∆t.

v ≡ dr dt

(I.13)

La vitesse instantanée est donc un vecteur qui est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

I. 8

Le vecteur v peut s’écrire en fonction de ses coordonnées dans le référentiel Oxyz, soit vx, Figure I.7. vy et vz :

v = vx

D’après