Wala Troude

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EXERCICE 2 (4 points) Arithmétique l'enseignement de spécialité

Partie A

On admet que 1999 est un nombre premier.

Déterminer l’ensemble des couples (a ; b) d’entiers naturels admettant pour somme 11994 et pour PGCD 1999. (1 point)

Partie B

On considère l’équation (E) d’inconnue n appartenant à N :

(E) : n2 − S n + 11994 = 0 où S est un entier naturel.

On s’intéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans N.

1. Peut-on déterminer un entier S tel que 3 soit solution de (E) ? (0,25 point)

Si oui, préciser la deuxième solution. (0,25 point)

2. Peut-on déterminer un entier S tel que 5 soit solution de (E) ? (0,5 point)

3. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. (0,5 point)

En déduire toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières. (0,5 point)

Partie C

Comment montrerait-on que 1999 est un nombre premier ?

Préciser le raisonnement employé. (1 point)

La liste de tous les entiers premiers inférieurs à 100 est précisée ci-dessous :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89 97

EXERCICE 2 (4 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

On considère un triangle ABC du plan.

1. a) Déterminer et construire le point G, barycentre de

[(A ; 1) ; (B ; −1) ; (C ; 1)]. (0,5 point)

b) Déterminer et construire le point G´, barycentre de

[(A ; 1) ; (B ; 5) ; (C ; −2)]. (0,5 point)

2. a) Soit J le milieu de [AB].

Exprimer[pic] et[pic] en fonction de[pic] et[pic] et en déduire l’intersection des droites (GG′) et (AB). (0,75 + 0,75 point)

b) Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; −1)] appartient à (GG′). (0,5 point)

3. Soit D un point quelconque du plan.

Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].

a) Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit barycentre de

[(A ; a) ; (D ; d) ; (C ; c)]. (0,5 point)

b) Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).

Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit barycentre de

[(A ; a’) ; (C ; c’)]. (0,5 point)

PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats

Soit la fonction numérique f définie sur ]0 ; + ([ par [pic].

Partie A - Recherche graphique d’un extremum

L’observation de la courbe représentative de la fonction f sur l’écran graphique d’une calculatrice donne à penser que f admet un minimum sur l’intervalle [0,5 ; 2].

[pic]

On se propose d’en donner une valeur approchée.

Observer ci-dessous la représentation graphique de la fonction f ´, dérivée de f, sur l’intervalle [0,5 ; 2].

Quels sont les éléments graphiques concernant f ´ qui vont dans le sens de l’existence d’un minimum de f sur [0,5 ; 2] ? (0,5 point)

À l’aide de ce graphique, donner un encadrement d’amplitude 0,2 de l’abscisse de ce minimum. (0,25 point)

Partie B - Étude de la fonction F

On considère la fonction h définie sur [0 ; + ([ par h(x) = xex − 2ex + 2.

1. Déterminer les variations de h (on précisera h(0) mais la limite en + ( n’est pas demandée). (0,5 point)

2. Déterminer le signe de [pic]. (0,25 point)

En déduire qu’il existe un unique réel a appartenant à l’intervalle [pic] tel que

h(a) = 0. (0,5 point)

En déduire le signe de h sur [0 ; + ([. (0,5 point)

3. Étude de la fonction f

a) Calculer les limites de f aux bornes de l’intervalle ]0 ; + ([. (1 point)

b) Montrer que, pour tout nombre x strictement positif :

[pic] . (0,5 point)

En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation. (1 point)

c) Montrer que [pic] et en déduire le signe de f(a). (0,5+ 0,5 point)

Partie C - Recherche d’un encadrement du nombre a

1. Démontrer que, sur [0 ; + ([, l’équation h(x) = 0 équivaut à

2(1 − e− x) = x. (0,5 point)

2. Soit la fonction g définie sur [0 ; + ([ par g(x) = 2(1 − e− x).

On pose [pic].

Montrer que, pour tout x de l’intervalle I, [pic]. (0,5 point)

3. Soit la suite (xn)n > 1 définie par

[pic]