Algebre de boole

e : Une variable logique ou binaire, notée X, est une grandeur qui ne peut prendre que deux états (0 ou 1): X=0 si X1 X=1 si X0 Un interrupteur K ne peut prendre que deux états, il est ouvert, ou il est fermé. L'état de cet interrupteur peut être décrit par une variable logique X. En général, on attribue la valeur 0 à cette variable quand K est ouvert, et la valeur 1 quand K est fermé 4°) Opérateurs logiques : On définit cinq opérateurs logiques de base : OUI, NON, OU Inclusif ET logique OU exclusif. 5°) Fonction logique : Une fonction logique est une associations de variables, reliées par des opérations, qui ne peut prendre que deux valeurs (0 et 1). Par suite une fonction logique pourra à son tour être considérée comme une variable vis-à-vis d'une autre fonction logique (fonction de fonction). Exemple : Si S dépend de e1 et e2, S est une fonction des variables e1 et e2

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S=e1+e2 6°) Table de vérité : La fonction S peut-être définie à partir d'un tableau appelé TABLE DE VERITE, qui indique la valeur de S, selon les valeurs de e1 et de e2. Chaque table de vérité définit une fonction logique. e1 0 0 1 1 • Remarque : L'état 1 est aussi appelé état haut (H); l'état 0 est l'état bas (B, L). e2 0 1 0 1 S 0 1 1 1

II°). DIFFERENTES FONCTIONS LOGIQUES :

1°) Fonction OUI : * Définition : La fonction OUI effectue l'égalité entre deux variables. Elle sert à transmettre et à amplifier l'information. * En électricité :

Au repos (a=0), la lampe est éteinte (S=0). Si on appuie sur a (a=1), la lampe s'allume (S=1). On peut donc écrire la relation S=a. Donc un contact travail représente la variable. * Table de vérité : a 0 1 * Equation : S=a

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S 0 1

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* En électronique : • Symbole normalisé :

•

Ancien Symbole :

* Chronogrammes :

2°) Fonction NON : (NO) * Définitions : La fonction NON (ou négation) effectue le complément logique (ou l'inverse) d'une variable. On le note en ajoutant une barre sur la variable ( x est le complément de x et se lit x barre).Cette définition conduit aux relations suivantes :

1 = 0; 0 = 1

On en déduit que le complément de A est égale à A barre ( A ); et le complément de A barre est égale à A. Donc si A = 0 alors A = 1 Et si A = 1 alors A = 0 Il est possible de complémenter plusieurs fois une variable ou un groupe de variables. Exemple : A = A

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* En électricité :

Au repos (a=0), la lampe est allumée (S=1) ; si on appuie sur a (a=1), la lampe s'éteint (S=0); On peut donc écrire S= a . Donc un contact repos représente le complément de la variable. * Table de vérité : a 0 1 * Equation : S= a * En électronique : • Symbole normalisé : S 1 0

•

Ancien symbole :

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* Chronogrammes :

3°) Fonction ET : (AND) * Définitions : Cette opération, aussi appelée intersection, appliquée à deux variables, conduit au produit, ou fonction ET de ces deux variables. On la note par le signe ‘•’ entre les deux variables x et y, mais plus simplement xy ou x•y. Le résultat est égal à 1 si les deux variables valent 1. • En électricité :

Au repos, la lampe est éteinte; la lampe s'allume seulement si l'on appuie sur a et b.On est donc en présence d'une fonction ET. • Remarque : Le ET en électricité se réalise en mettant les contacts en série.

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* Table de vérité : a 0 0 1 1 • Remarque : En généralisant, pour que S soit à 1, il faut que toutes les variables d'entrées soient à 1. Le ET logique est équivalent à une multiplication. * Equation :

S = a.b

b 0 1 0 1

S 0 0 0 1

* En électronique : • Symbole normalisé :

•

Ancien symbole :

* Propriétés :

A. A = A A. A = 0 1. A = A 0. A = 0

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* Chronogrammes :

4°) Fonction OU (Inclusif) : (OR) * Définitions : Cette opération, aussi appelée réunion, appliquée à deux variables, conduit à la somme, ou fonction OU de ces deux variables. On la note par le signe U entre les deux variables x U y, ce qui évite de la confondre avec l'addition arithmétique, mais en pratique, on la notera sous la forme x+y. Le résultat est égal à 1 si l'une ou l'autre des variables ou les deux valent 1. * En électricité :

Au repos, la lampe est éteinte; La lampe s'allume si l'on appuie sur a ou sur b. On est donc en présence d'une fonction OU. • Remarque : Le OU en électricité se réalise en mettant les contacts en parallèle.

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* Table de vérité : a 0 0 1 1 • Remarque : En généralisant, il suffit qu'une des variables d'entrées soit à 1 pour que la sortie soit à 1. Le OU logique est équivalent à une addition ;sauf la dernière ligne, car A et B sont des états et pas des valeurs numériques. * Equation : b 0 1 0 1 S 0 1 1 1

S = a+b

* En électronique :

•

Symbole normalisé :

Le ≥1 signifie que pour que la sortie passe à 1, il faut que le nombre d'entrées au niveau 1 soit égal ou supérieur à 1.

•

Ancien symbole :

* Propriétés : A+A=A A+ A =1 1+A=1 0+A=A

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* Chronogrammes :

5°) Fonction OU Exclusif : (XOR) (OU disjonctif ou Dilemme) * Définition : La fonction OU Exclusif est encore appelée fonction d'anti-coïncidence car sa sortie n'est à l'état 1 que lorsque les 2 entrées sont dans des états différents. * En électricité :

OU

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Au repos, la lampe est éteinte; La lampe s'allume si l'on appuie sur a ou sur b, mais elle s'éteint si l'on appuie sur les deux. En résumé S=1 si et seulement si l'on appuie exclusivement sur a ou sur b. On est donc en présence d'un OU exclusif. * Table de vérité : a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 S 0 1 1 0

Attention au piège, en généralisant à 3 entrées, il faudra d'abord effectuer un OU exclusif entre deux variables d'entrée, puis effectuer le suivant entre le résultat précédent et la troisième variable d'entrée.

•

Remarque : Le OU exclusif est équivalent à une addition modulo 2 (1 + 1 = 0 et je retiens 1).

* Equations :

S = a⊕b S = a.b + a.b S = (a + b).(a + b)

* En électronique :

•

Symbole normalisé :

•

Ancien symbole :

* Propriétés :

1⊕ A = A 0⊕ A = A

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* Chronogrammes :

6°) Fonction NON ET : (NAND) * Définition :

La fonction NON ET n'est à l'état 0 que si toutes les entrées sont à l'état 1. Dès que l'une des entrées est à l'état 0, la sortie passe à l'état 1.

*