Berberty

re qui a le même rayon qu'elle R = 237 mm. On verse de l'eau dans le cylindre jusqu'à ce que le niveau arase exactement la boule.

Il s'agit en répondant aux questions suivantes de calculer

la hauteur de l'eau dans le cylindre lorsque l'on retire la boule.

a) Calculer le volume de la boule V1

b) Calculer le volume V2 : eau + boule

c) Calculer la hauteur de l'eau dans le cylindre quand il y a la boule .

d) Calculer la hauteur de l'eau dans le cylindre quand on a retiré la boule.

Un ballon de diamètre 25 cm est posé sur l’eau.

1. Calculer le rayon du cercle de contact du ballon avec l’eau si le ballon s’enfonce de 3 cm dans l’eau.

2. Calculer le rayon du cercle de contact du ballon avec l’eau si le ballon s’enfonce aux trois quarts de sa hauteur dans l’eau.

.

Exercice 3A.1 - Marseille 2000

Un plan coupe une sphère de centre O et de rayon 10 cm selon un cercle (C) de centre H.

La distance OH du centre de la sphère à ce plan vaut 6 cm.

1. triangle OHA rectangle en H tel que : OH = 6 cm et OA = 10 cm

2.

théorème de Pythagore (HA²=OA² OH²

(HA²=10² 6² = 64 (HA = 8 cm

Exercice 3A.2 - Bordeaux 2000

Un aquarium a la forme d’une calotte sphérique de centre O (voir schéma ci-dessous), qui a pour rayon R = 12 et pour auteur h = 19,2 (en centimètres).

1)Calculer la longueur OI puis la longueur IA.

OI = 19,2 12=7,2

Triangle OIA rectangle en I

(théorème de Pythagore

(AI²=OA² OI²

(AI²=12² (7,2)²= 92,16

(AI = =9,6 cm

2. Le volume d’une calotte sphérique est donné par la formule :

V = (3R – h) où R est le rayon de la sphère et h est la hauteur de la calotte sphérique.

Calculer la valeur approchée du volume de cet aquarium au cm3 prés.

h'= R OI = 12 7,2= cm(V= π × ×(3×12 2,4)

(V ≈ 203 V sphère = 4× π× /3 ≈ 7238

(V aquarium ≈ 7238 203 ≈ 7035 ≈ 7,035

3. On verse 6 litres d’eau dans cet aquarium.

Au moment de changer l’eau de l’aquarium, on transvase son contenu dans un récipient parallélépipédique de 26 cm de longueur et de 24 cm de largeur. Déterminer la hauteur x de l’eau dans le récipient. Arrondir le résultat au mm

V solide = 24×26×x = 624x( 624x=6000

(x=6000/624 ≈ 9,6 cm

.

Exercice 3A.3 - Caen 2000

Un menuisier doit tailler des boules en bois de 10 cm de diamètre pour les disposer sur une rampe d’escalier. Il confectionne d’abord des cubes de 10 cm d’arête dans lesquels il taille chaque boule.

1. Dans chaque cube, déterminer le volume (au cm3 prés) de bois perdu, une fois la boule taillée.

Rayon boule = 5 cm ( V boule = 4 π× /3 ≈ 524

V cube = 1000 ( perte = 1000 524 = 476

2. Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un plan pour la coller sur son emplacement. La surface ainsi obtenue est un disque D de centre O1 et de diamètre AB = 5 cm.(r = 2,5 cm

Calculer à quelle distance du centre de la boule (h sur la figure) il doit réaliser cette découpe. Arrondir h au millimètre.

Triangle OO1B rectangle en O1 ( OO1²= OB² O1² = 5² (2,5)² = 18,75 ( OO1 = ≈ 4,3 cm

Exercice 3A.4 - Nantes 2000

Une boîte de chocolats a la forme d’une pyramide régulière de base carrée, sectionnée par un plan parallèle à la base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient les chocolats.

On donne : AB = 30 cm SO = 18 cm SO’ = 6 cm

.(V=(30×30)×=5400

1. En déduire celui de la pyramide SEFGH.

(par propriété : SEFGH est une réduction de SABCD de coefficient k= =(FE= = 10 cm

(V'=(10×10)×=200

rm : )\s\up 9(3)= et =200

2. Calculer le volume du récipient ABCDEFGH qui contient les chocolats.

V(chocolats)= 5400 200 = 5200

Exercice 3A.5 - Polynésie 2000

ABCDEFGH est un cube d’arête 6 cm.

1. Calculer AC ; donner la valeur exacte.

2. On admettra que le triangle ACG est rectangle en C.

Calculer AG ; donner la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au mm.

3. On considère la pyramide ABCGF. Calculer le volume de cette pyramide.

AC est une diagonale du carré ABCD ( AC = c×

AC= 6× ≈ 8,5 cm

Soit le plan ABCD : (CG) perpendiculaire à (CD) et (BC) ((CG) perpendiculaire au plan ABCD

((CG) perpendiculaire à (AC) ( triangle ACG rectangle en C

( théorème de Pythagore ( AG² = AC² + CG² = (6× )² + 6² = 108 ( AG= ≈ 10,4 cm

1. Volume de la boule de rayon R : [pic]

1. L'ensemble eau + boule forme un cylindre de rayon R et de hauteur 2R. Son volume est donc égal à : [pic]

1. La hauteur de l'eau quand il y a la boule : 2R = 474 mm

1. Le volume de l'eau seule est égal à la différence entre les deux volumes V2 et V1 . Ce qui donne V ( 83 - 56 = 27 dm3 Cette eau forme un cylindre de rayon R et de hauteur h, telle que V = (R²h , donc h = [pic]

Exercice 20

1) On sait que OF = = 12,5 cm et EF = 3 cm, donc OE = 9,5

Dans OEC, rectangle en E : EC =

EC = = ( 8,1cm.

2) Si le ballon est enfoncé aux trois quarts de sa hauteur, EH représente de la hauteur (c'est à dire du diamètre).

HE = , donc OE = - = = 6,25.

EC = = = ( 10,8.

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A

B

O1

O

h

D

A

O

H

(C)

6