Sisi

n d’un pays a été multiplié par 1,012 en un an. Le taux d’augmentation en % est t tel que t 1, 02 = 1 + donc t = (1, 02 − 1) × 100 = 2. 100 La population a augmenté de 2%.

• Lors d’une crise économique, un pays subit beaucoup d’inflation et les prix sont multipliés par 3 en un an. t donc t = 200 : Les prix ont augmenté de 200 %. 3 = 1+ 100

II Évolutions successives

II.1 Taux global Propriété

Soient x0 , x1 , . . .xn des nombres réels strictement positifs. t1 , t2 , . . .xn sont les taux d’évolution successifs permettant de passer de x0 à x2 , de x2 à x3 , . . ., de xn−1 à xn .Le coefficient multiplicateur global permettant de passer de x0 à xn est le produit des n coefficients. 1 + T = (1 + t1 )(1 + t2 ) · · · (1 + tn ) donc T = (1 + t1 )(1 + t2 ) · · · (1 + tn ) − 1

II.2 Exemples

• Exemple 1 : Un prix subit une augmentation de 2 %, suivie d’une augmentation de 3 %. Quel est le taux d’augmentation global ?

Réponse : Le premier coefficient multiplicateur est 1 + t1 = 1 + 2% = 1, 02. Le second est 1 + t2 = 1 + 3% = 1, 03. Le coefficient multiplicateur global est 1, 02 × 1, 03 = 1, 0506. Si t est le taux global, on a : 1 + t = 1, 0506 donc t = 1, 0506 − 1 = 0, 0506 = 5, 06 % . • Exemple 2 : Un prix subit une augmentation de 2 %, suivie d’une baisse de 2 %. Quel est le taux d’augmentation global ? Réponse : Le premier coefficient multiplicateur est 1 + t1 = 1 + 2% = 1, 02. Le second est 1 + t2 = 1 + (−2%) = 1 − 0, 02 = 0, 98. Le coefficient multiplicateur global est 1, 02 × 0, 98 = 0, 9996. Si t est le taux global, on a : 1 + t = 0, 9996 donc t = 0, 9996 − 1 = −0, 0004 = −0, 04 % . • Exemple 3 : La population d’une ville augmente de 3 % par an pendant trois ans ? Quel est le taux dévolution global ? Réponse : Soit t = 3%. Le coefficient multiplicateur correspondant à chaque année est 1 + 3% = 1, 03. La population est donc multipliée par 1,03 chaque année. Au bout de trois ans, la population a été multipliée par le coefficient multiplicateur (1 + t ) × (1 + t ) × (1 + t ) = 1, 03 × 1, 03 × 1, 03 = 1, 033 = 1, 092727 = 1 + 0, 092727. Si T est le taux d’évolution global, on a : 1 + T = 1 + 0, 092727 donc T = 0, 092727 = 9,272 7 % • Exemple 4 : Un objet coûte 23 ehors-taxes ; le montant de la T.V.A. est de 19,6 %. Que est le prix T.T.C. ? Réponse : Le coefficient multiplicateur est de 1 + 19, 6 % = 1, 196. 23 × 1, 196 = 27, 508 e. Le prix TTC est d’environ 27,50 e. • Exemple 5 : Un objet coûte 31,65 eT.T.C. ; le montant de la T.V.A. est de 5,5 %. Que est le prix H.T. ? Réponse : Soit x le prix H.T. Le coefficient multiplicateur est de 1 + 5, 5 % = 1, 055. On a alors : x × 1, 055 = 31, 65. 31, 65 = 30. On en déduit : x = 1, 055 Le prix H.T. est de 30 e. Exercices no 1, 2 et 3 page 23 :

II.3 Taux d’évolution réciproque

Exemple Un objet coûte 20 e. Son prix subit une hausse de 2 %. 1. Quel est son nouveau prix ? 2. Quel est le montant de la baisse qu’il doit subir pour retrouver sa valeur initiale ?

Réponses : 1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 2 % est 1 + 2 % = 1, 02. Le nouveau prix est : 20 × 1, 02 = 20, 4. 2. Soit t le taux de baisse ; le coefficient multiplicateur est alors : 1 + t . On doit donc avoir : (20 × 1, 02) × (1 + t ) = 20, d’où, après simplification par 20 : 1 . 1, 02 × (1 + t ) = 1, et, par conséquent : 1 + t = 1, 02 1 On en déduit : t = −1 . 1, 02 Alors : t ≈ −0, 01960, soit environ −1, 96 %. On dit que le taux d’évolution réciproque de 2 % est de −1, 96 %. Cas général : Soit x un nombre, qui subit un taux d’évolution égal à t . Le coefficient multiplicateur est 1 + t , donc la nouvelle valeur est x(1 + t ). On cherche alors le montant du taux d’évolution t qui permet de retrouver la valeur x initiale. Le coefficient multiplicateur associé est 1 + t . On doit donc avoir : [x(1 + t )] × (1 + t ) = x. En simplifiant par x, on obtient : (1 + t )(1 + t ) = 1. 1 1 d’où : t = −1 . On en déduit : 1 + t = 1+t 1+t t est appelé taux d’évolution réciproque du taux t Exemples : 1 − 1 ≈ −0,