Théorème De Fermat

tation dans la marge d’un livre ajoutait qu’il n’avait pas eu de place pour écrire sa découverte :

« Cubum autem in dous cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem un duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. »

Qui se traduit par : « J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir... »

On peut penser qu’il essaya de le démontrer mais comprenant sa difficulté, il préféra banaliser la démonstration. Il s’agit d’une marque d’ironie de Pierre de Fermat.

De plus, Fermat était conseiller au Parlement de Toulouse, fut l'un des mathématiciens les plus importants du 17e siècle ; en même temps que René Descartes, il eut l'idée de la géométrie analytique, c'est-à-dire de la transcription algébrique des problèmes de géométrie, pour étudier les tangentes à une courbe par exemple. En collaboration avec Blaise Pascal, il inventa le calcul des probabilités. A cette époque, les deux grandes branches des mathématiques théoriques étaient la géométrie et l'arithmétique. En particulier, même si l'algèbre était connue, elle ne paraissait pas nécessairement bien adaptée pour traiter des problèmes sur les nombres entiers : la solution d'une équation à coefficients entiers n'est pas nécessairement entière. Fermat mit au point plusieurs méthodes pour mettre l'algèbre au service de l'arithmétique théorique, en particulier la méthode de descente infinie.

2. Peu à peu, différents cas sont démontrés

L'histoire du théorème de Fermat est exemplaire d'un phénomène fréquent en mathématiques, le changement de cadres. Pendant les trois siècles et demi qui séparent l'énoncé de sa preuve, ce théorème a été en effet retranscrit, réinterprété, partiellement prouvé, en utilisant des méthodes et des langages issus de branches variées des mathématiques. A commencer par l'utilisation de simples notations algébriques, absentes de l'original. On remarque que pour n=2, il y a une infinité de solutions, l’application du théorème de Pythagore en est un exemple.

La méthode de descente infinie permit à Fermat de prouver le théorème pour n=4 et peut-être au moins dans ses grandes lignes pour n=3. Celui-ci fut établi pour les exposants 5 et 7 au début du 19e siècle, mais les détails se compliquaient très vite.

Un grand pas fut franchi lors d'un de ces changements de cadres dont nous avons parlé plus haut, grâce au travail d’Ernst Eduard Kummer, un universitaire allemand. Celui-ci s'intéressait en particulier à ce qu'on appelle les lois de réciprocité entre nombres premiers.

Au début du 19e siècle, un autre mathématicien, Carl-Friedrich Gauss, avait utilisé, pour simplifier les preuves très difficiles de cette loi, certains nombres algébriques sur lesquels il était parvenu à faire de l'arithmétique comme sur les entiers usuels, par exemple en les factorisant en nombres premiers ou en effectuant des divisions euclidiennes.

Pour généraliser ces travaux, Kummer essaya de faire de l'arithmétique sur les nombres de la forme x + ζ y, où x et y sont des entiers et ζ un nombre complexe tel que ζn = 1 (on les appelle corps cyclotomiques). Les nombres utilisés par Gauss en sont un cas particulier. Kummer découvrit des difficultés majeures pour généraliser l'arithmétique usuelle : il n'existe pas par exemple de décomposition unique en facteurs premiers pour ces nombres. Il parvint cependant, en inventant une nouvelle sorte de nombres, à récupérer à leur niveau une arithmétique adéquate et à démontrer certaines lois de réciprocité. Au passage, il appliqua ces idées au problème de Fermat. On peut en effet factoriser l'équation :

zn = xn +yn = (x+y)(x+ζy)... (x+ ζn-1 y)

avec ζn=1.

En utilisant l'arithmétique développée pour les nombres cyclotomiques, Kummer montra le théorème de Fermat pour toute une famille d'exposants, en particulier pour tous les exposants plus petits que 100 (sauf trois d'entre eux qui furent étudiés un peu plus tard). Ce résultat spectaculaire lui valut un prix de l'Académie des sciences de Paris, mais il affirma toujours que ce théorème n'était qu'une curiosité, alors que les lois de réciprocité étaient le pinacle de la théorie des nombres. Il faut souligner qu'à la suite des travaux de Kummer, des mathématiciens comme Richard Dedekind ou Leopold Kronecker développèrent l'arithmétique de nombres complexes généraux. Leurs recherches eurent un très grand retentissement au-delà de la théorie des nombres. Par exemple, c'est à eux que nous devons les notions maintenant familières de corps et d'idéal.

C'est surtout au cours du 19ème siècle que la renommée du théorème de Fermat se développa. C'est d'ailleurs vrai de la théorie des nombres dans son ensemble. Gauss écria : "Son charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves" : une réflexion qui semble faîte tout exprès pour le théorème de Fermat.

Au cours du 20ème siècle, les méthodes utilisées en théorie des nombres ont beaucoup changé. En 1985, Etienne Fouvry, maintenant à l'université Paris-Sud, utilisa des estimations très difficiles d'analyse pour prouver que, pour une infinité de nombres premiers n, l'équation de Fermat relative à l'exposant n n'a pas de solutions sauf si x, y ou z est divisible par n. Et à peu près à la même époque, Gerd Faltings montra qu'il n'existait qu'un nombre fini de rationnels (x/z, y/z) définis à partir des solutions de l’équation de Fermat. Ce dernier résultat venait d'une nouvelle réinterprétation de l'équation de Fermat, comme celle d'une courbe plane :

Xn + Yn = 1 avec X=x/z et Y=y/z.

Faltings prouva en fait un théorème plus général disant que toute courbe définie par un polynôme à coefficients entiers, et de genre au moins 2, n'a qu'un nombre fini de points à coordonnées rationnelles. Il s’agit du préambule des courbes elliptiques.

La démonstration qu'a donnée Wiles repose sur une réinterprétation géométrique, mais différente de celle-ci. Au milieu des années 80, il fut montré que si le théorème de Fermat était faux, elle contredirait une conjecture très importante en mathématiques, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (STW). Cette conjecture établit un dictionnaire entre les courbes elliptiques et des fonctions dites "modulaires"; ces dernières ressemblent un peu aux fonctions cosinus et sinus, en particulier elles vérifient certaines propriétés de périodicité.

Mais la preuve de la conjecture STW semblait inaccessible : c'est elle pourtant qu'a obtenue Andrew Wiles, avec l'aide de Richard Taylor, dans un cas particulier suffisant pour le théorème de Fermat.

Il est bien sûr possible que d'autres démonstrations, plus simples peut-être, du théorème de Fermat, soient trouvées dans les prochaines années. Quoi qu'il en soit, la fin de la saga Fermat n'est pas la fin de la théorie des nombres.

En réalité, l’usage voulant qu’on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l’appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d’une « conjecture de Fermat », soit du « Théorème de Wiles ».

II. Méthodes utilisées pour la démonstration

1. Démonstration du cas n=4

A. Démonstration en deux étapes

Avant de considérer l'équation en nombres entiers > 0: (E4): x4 + y4 = z4 , il n'est pas inutile de faire un rapide tour d'horizon de l'équation : (E2): x2 + y2 = z2.

Première Etape :

On peut ramener cette dernière équation au cas où les inconnues x, y et z sont des entiers premiers entre eux, et même, premiers deux à deux. Une simple considération de l'équation en utilisant les congruences modulo 4, montre alors que l'on peut supposer en plus, que x est impair, y est pair et z est impair.

On pose alors y = 2y’, z + x = 2x' et z - x = 2z'.

On vérifie sans problème que les entiers x’, y' et z' sont aussi premiers entre eux deux à deux.

En écrivant alors (E2) sous la forme ou encore y'² = x'.z'.

Démonstration de l’écriture de (E2) sous cette forme :

Ceci montre alors que x' et z' sont des carrés, ce qui se voit en utilisant la décomposition de y' en facteurs premiers. Il existe donc deux entiers u et v premiers entre eux tels que :

x' = u² , z' = v².

En revenant à la définition de x' et z', on voit