Histoire De La Publicite

en jeu un nombre e e consid´rable de particules. L’effet de ce nombre est d’autant plus grand qu’il intere vient dans des calculs combinatoires : si N , le nombre d’atomes participant a une ` exp´rience, est de l’ordre de 1010 , c’est d´j` consid´rable, mais N ! ou 2N sont des e ea e nombres surnaturellement grands, invincibles. Les innombrables d´bats entre physiciens qui se sont ensuivis pendant plus e d’un si`cle, et se poursuivent encore aujourd’hui, t´moignent de la subtilit´ et de e e e la profondeur des arguments de Maxwell et Boltzmann, porte-drapeaux d’une petite r´volution scientifique qui s’accomplit dans les ann´es 1860 et 1870, et qui vit e e naˆ les fondements de la th´orie cin´tique des gaz moderne, le concept universel ıtre e e ` d’entropie statistique, et la notion d’irr´versibilit´ macroscopique. A dire vrai, les e e arguments ´taient si subtils que Maxwell et Boltzmann s’y sont eux-mˆmes parfois e e perdus, h´sitant sur certaines interpr´tations, alternant les erreurs na¨ e e ıves avec les concepts profonds; les plus grands scientifiques de la fin du dix-neuvi`me si`cle, e e comme Poincar´ ou Lord Kelvin, n’ont pas ´t´ en reste. On trouvera un aper¸u de e ee c

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ces atermoiements dans le texte de Damour d´j` cit´; pour ma part je me contenterai ea e de pr´senter une version “d´cant´e” de la th´orie de Boltzmann. On ´voquera a la e e e e e ` fin de ce texte la fa¸on dont Landau fit voler en ´clat le paradigme de Boltzmann, c e d´couvrant une apparente irr´versibilit´ l` o` il ne semblait pas y en avoir, et oue e e a u vrant une nouvelle mine de probl`mes math´matiques. e e En retra¸ant l’histoire de l’interpr´tation statistique de la fl`che du temps, nous c e e aurons l’occasion d’effectuer un voyage au cœur de probl`mes profonds qui depuis e plus d’un si`cle agitent math´maticiens et physiciens. e e Les notations utilis´es dans cet expos´ sont dans l’ensemble classiques; je noterai e e N = {1, 2, 3, . . .} et log = logarithme n´p´rien. e e 1 Le royaume inaccessible de Newton

On va adopter ici une description purement classique de notre univers physique, selon les lois ´dict´es par Newton : l’espace ambient est euclidien, le temps absolu, e e et l’acc´l´ration est ´gale au produit de la masse par la r´sultante des forces. ee e e Dans le cas de la description d’un gaz, ces hypoth`ses sont discutables : d’apr`s e e E.G.D. Cohen, les fluctuations quantiques ne sont pas n´gligeables au niveau e m´soscopique. La nature probabiliste de la m´canique quantique est toujours e e d´battue; admettons cependant que l’incertitude accrue qui r´sulterait de la prise e e en compte de ces fluctuations ne puisse qu’arranger nos affaires, au moins qualitativement, et concentrons-nous donc sur des mod`les classiques et d´terministes, “` e e a la Newton”.

1.1 Le mod`le des sph`res dures e e

Pour fixer les id´es, consid´rons un syst`me de particules sph´riques id´ales rebondise e e e e sant les unes sur les autres : soient N particules dans une boˆ Λ, on d´signe par ıte e Xi (t) la position au temps t du centre de la particule num´rot´e i. Les r`gles du e e e mouvement s’´noncent comme suit : e • On suppose qu’initialement les particules sont bien s´par´es (i = j =⇒ e e |Xi − Xj | > 2r) et s´par´es de la paroi (d(Xi , ∂Λ) > r pour tout i). e e • Tant que ces conditions de s´paration sont satisfaites, le mouvement est e ¨ ¨ rectiligne uniforme : Xi (t) = 0 pour tout i, o` l’on note X = d2 X/dt2 l’acc´l´ration u ee de X. • Quand deux particules se rencontrent, leurs vitesses changent brutalement selon les lois de Descartes : si |Xi (t) − Xj (t)| = 2r, alors  ˙ ˙ ˙ Xi (t+ ) = Xi (t− ) − 2 Xi (t− ) − Xj (t− ), nij nij ,  ˙  o` l’on note nij = (Xi − Xj )/|Xi − Xj | le vecteur unitaire joignant les centres des u boules en collision. • Quand une particule rencontre le bord, sa vitesse change aussi : si |Xi −x| = r avec x ∈ ∂Λ, alors ˙ ˙ ˙ Xi (t+ ) = Xi (t− ) − 2 Xi (t), n(x) n(x),   ˙ + Xj (t ) = Xj (t− ) − 2 Xj (t− ) − Xi (t− ), nji nji , ˙ ˙ ˙

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(Ir)r´versibilit´ et entropie e e

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o` n(x) est la normale ext´rieure a Λ en x, suppos´e bien d´finie. u e ` e e Ces r`gles ne sont pas suffisantes pour d´finir compl`tement la dynamique : e e e on ne peut a priori exclure les possibilit´s de collision triple, collisions simultan´es e e entre particules et le bord, ou encore d’une infinit´ de collisions se produisant en e temps fini. Cependant ces ´v´nements sont de probabilit´ nulle si les conditions e e e initiales sont tir´es au hasard selon la mesure de Lebesgue (ou mesure de Liouville) e dans l’espace des phases [40, Appendice 4.A]; on n´gligera donc ces ´ventualit´s. La e e e dynamique ainsi d´finie, toute simple qu’elle soit, peut alors ˆtre consid´r´e comme e e ee une caricature de notre univers complexe si le nombre N de particules est tr`s grand. e ´ Etudi´e depuis plus d’un si`cle, cette caricature n’a pas encore livr´ tous ses secrets, e e e il s’en faut de beaucoup.

1.2 Autres mod`les newtoniens e

` A partir du mod`le embl´matique des sph`res dures, on peut d´finir un certain e e e e nombre de variantes plus ou moins complexes : • remplacer la dimension 3 par une dimension d ≥ 2 arbitraire (la dimension 1 ´tant probablement pathologique); e • remplacer la condition aux limites (rebond ´lastique sur les parois) par une e loi plus complexe [40, Chapitre 8]; • ou au contraire ´liminer les bords, toujours d´licats, en posant le syst`me e e e dans l’espace entier Rd (mais on peut alors argumenter que le nombre de particules devrait ˆtre infini pour conserver une densit´ moyenne globale non nulle) ou dans e e un tore de cˆt´ L, Td = Rd /(LZd ), ce qui sera mon choix pr´f´rentiel dans la suite; oe ee L • remplacer l’interaction de contact des sph`res dures par une autre interaction e entre particules pontuelles, par exemple associ´e a un potentiel d’interaction ` deux e ` a corps φ(x − y) = potentiel exerc´ au point x par un point mat´riel situ´ en y. e e e Parmi les potentiels d’interaction notables, on mentionne, en dimension 3, a ` constante multiplicative pr`s : e - le potentiel coulombien : φ(x − y) = 1/|x − y|; - le potentiel newtonien : φ(x − y) = −1/|x − y|; - le potentiel maxwellien : φ(x − y) = 1/|x − y|4 . L’interaction maxwellienne a ´t´ introduite artificiellement par Maxwell et ee Boltzmann dans le cadre de l’´tude statistique des gaz; elle m`ne a d’importantes e e ` simplifications dans certaines formules. Il existe une zoologie d’autres potentiels (Lennard-Jones, Manev ...). Les sph`res dures correspondent au cas limite d’un e potentiel qui vaudrait 0 pour |x − y| > r et +∞ pour |x − y| < 2r. Supposant plus g´n´ralement que l’interaction se fait sur une ´chelle d’ordre r e e e et avec l’intensit´ a, on arrive a un syst`me de particules ponctuelles avec potentiel e ` e d’interaction : Xi − X j ¨ , (1) Xi (t) = −a φ r j=i pour tout i ∈ {1, . . . , N }; on suppose donc Xi ∈ Td . Ici encore, la dynamique L est bien d´finie en-dehors d’un ensemble de conditions initiales exceptionnelles, et e associ´e a un flot newtonien : Nt qui ` la configuration au temps s associe la position e ` a au temps s + t (t ∈ R peut ˆtre positif ou n´gatif). e e

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1.3 Fonctions de distribution

Mˆme si l’on accepte le mod`le newtonien (1), il nous reste inaccessible : d’abord e e parce que nous ne percevons pas les particules individuellement (trop petites), et parce que leur nombre N est consid´rable. Avec des exp´riences bien choisies, on e e peut mesurer la pression exerc´e sur une petite surface, la temp´rature autour d’un e e point, la densit´ moyenne, etc. Toutes ces quantit´s ne s’expriment pas directement e e en fonction des Xi , mais plutˆt en fonction de quantit´s moyennes o e 1 N ˙ χ(Xi , Xi ),

i

(2)

o` χ est une fonction scalaire. u La distinction peut sembler oiseuse : en particularisant χ, en le concentrant pr`s e de la particule i, on retrouve l’information manquante. Mais bien ´videmment, cela e est impossible : en pratique χ est a variation macroscopique, par exemple de l’ordre ` de la taille de la boˆ ıte. En outre, l’information contenue dans les moyennes (2) ne ˙ distingue pas les particules, de sorte que l’on a remplac´ le vecteur des (Xi , Xi ) par e la mesure empirique N 1 N δ . (3) µt = ˙ N i=1 (Xi (t),Xi (t)) La terminologie “empirique” est bien choisie : c’est la mesure que l’on observe au moyen (sans jeu de mots) de mesures. Pour r´sumer : notre connaissance du syst`me de particules s’effectue uniquee e ment a travers le comportement de la mesure empirique dans une topologie faible ` qui mod´lise la limitation macroscopique de nos exp´riences – aussi bien exp´riences e e e de laboratoire qu’exp´riences sensibles. e Tr`s souvent, a notre ´chelle,