Marche De Sport Et Loisirs

line et d´tection on line ou selon les auteurs d´tection a e e e posteriori oppos´e ` d´tection s´quentielle. e a e e 1. Dans le cas off line, on dispose de toute l’information jusqu’` l’instant n et on a souhaite tester l’existence d’un ou plusieurs ´ventuels instants de rupture, c’est e un probl`me de segmentation. On dispose, par exemple, de l’enregistrement d’un e tremblement de terre et on souhaite estimer a posteriori le moment du s´isme. e On peut aussi vouloir v´rifier l’existence de ”clusters de volatilit´” sur les march´s e e e financiers. Un autre exemple amusant est fourni par l’´tude statistique de veilles e chroniques russes entre 850 et 890, il apparaˆ qu’elles ont ´t´ ´crites par plusieurs ıt eee auteurs et non par un seul comme le voulait la l´gende. e e 2. Dans le cas on line, on dispose d’une information qui arrive et on souhaite d´tecter au plus vite une d´viation par rapport aux normes sp´cifi´es. C’est typiquement e e e un probl`me industriel. Par exemple, une machine outil produit des tubes de e diam`tre µ0 = 13 mm avec un ´cart-type σ = 1 mm, on doit d´tecter dans les e e e meilleurs d´lais un d´r´glement de la machine pour la contrˆler. Ou bien, on mesure e ee o quotidiennement l’´mission de rayons d’un appareil m´dical et on doit pr´venir un e e e fonctionnement non conforme. Un autre probl`me historique fut dans les ann´es e e 1950 l’apparition d’un objet sur un ´cran radar, on a un bruit de fond correspondant e ` µ0 = 0 et brutalement un objet apparaˆ avec µ = δ > 0, il faut tirer l’alarme au a ıt plus tˆt. o

Dans les deux sections suivantes, on consid`re le probl`me de la d´tection off line et l’´tude e e e e de diverses cartes de contrˆle. o

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Description de la carte de contrˆle CUSUM o

La carte de d´tection CUSUM est la plus connue, elle est bas´e sur la somme cumul´e e e e (CUMulative SUM) des diff´rences ` la moyenne quand le syst`me est sous contrˆle. Elle e a e o fut introduite par Page (1954), mais elle est aussi parfois cit´e sous le nom de carte de Pagee Hinkley.

Pierre Bertrand

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2.1

Description

On pose

n

Cn =

j=1

(Xj − µ)

et

Sn =

Cn σ

(1)

On d´duit imm´diatement la proposition suivante : e e √ Proposition 2.1 i) Sous l’hypoth`se (H0), Si ∈ N (0, i) pour tout i = 1, . . . , n. e ii) Sous l’hypoth`se (H1), Si ∈ N (0, i) pour i = 1, . . . , r − 1 et e Sk − Sr−1 ∈ N δ/σ, k − (r − 1) pour i = r, . . . , n.

Ceci permet de r´interpr´ter le test et d’obtenir e e Astuce fondamentale de CUSUM : • Sous l’hypoth`se (H0), les sommes cumul´es Si e e de r´gression de pente 0. e • Sous l’hypoth`se (H1), les sommes cumul´es Si e e

i=r,...,n i=1,...,n

sont r´parties autour d’une droite e

sont r´parties autour d’une droite e

de r´gression de pente δ/σ ` partir de l’instant r. e a Cela n’a l’air de rien, mais de petites erreurs syst´matiques qui passent inaper¸ues ` l’oeil, se e c a cumulent avec CUSUM et deviennent ´videntes. e

ins´rer deux figures. Un exemple des donn´es brutes, un exemple de carte CUSUM. e e

R`gle de d´cision : e e On discrimine entre l’hypoth`se (H0) d’une droite de r´gression de pente nulle et l’hypoth`se e e e (H1) d’une droite de r´gression de pente δ/σ, en fixant pour fronti`re la pente moiti´ k = e e e ` l’´tape n on rejette l’hypoth`se (H0), s’il existe un entier m ≤ n δ/(2σ) et un seuil h > 0. A e e tel que Sn ≥ (n − m)k + h + Sm . Interpr´tation g´om´trique ; V masque e e e Dans le cas unilat´ral, on trace la droite D1 de pente k partant de Sn − h. S’il existe un point e (m, Sm ) avec m < n en dessous de la droite D1 , on tire l’alarme et on d´cide qu’une rupture e a eu lieu, en langage statistique, on rejette (H0).

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Introduction au contrˆle de qualit´ o e L’appelation V masque correspond au cas bilat´ral. On trace les droites D1 et D2 , la e

droite D1 ´tant d´finie ci-dessus et la droite D2 ´tant celle de pente −k partant de Sn + h. La e e e zone comprise entre les deux droites D1 et D2 avec une absisse m ≤ n (gris´e sur la figure 3 e ci-dessous) est appel´e un V masque. Pour un test bilat´ral, on rejette l’hypoth`se (H0), s’il e e e existe un point (m, Sm ) avec m < n en dehors des bras du V-masque.

ins´rer une figure. e

Dans les anciens temps, avant l’utilisation de l’informatique, on calculait Sn ` chaque a arriv´e d’une nouvelle donn´e Xn et on d´pla¸ait le V-masque pour voir si un point apparaissait e e e c en dehors de celui-ci. Interpr´tation alg´brique ; algorithme e e On consid`re dans la suite uniquement le cas d’un test unilat´ral. Les deux r´sultats suivants e e e sont de simples exercices : ` e e Proposition 2.2 A l’´tape n, on a ´quivalence entre les points suivants : i) On rejette l’hypoth`se (H1) ; e ii) Il existe m < n tel que le point (m, Sm ) soit sous la droite D1 ; iii) Il existe m < n tel que Sn − Sm − n − m k > h ; iv) On a Sn − n k − min Sm − m k > h ;

m≤n m≤n

e v) On a Pn − min Pm > h avec par d´finition Pn = Sn − n k. D’apr`s le point v) ci-dessus, l’algorithme consiste ` calculer Pn et Qn := minm≤n Pm , puis e a tester si Pn − Qn = Pn − min Pm > h. Ces deux quantit´s se calculent r´cursivement, en effet e e on a P0 = 0 Q1 = P1

m≤n

et et

Pn+1 = Pn + Xn − µ0 − k Qn+1 =

pour n ≥ 1 pour n ≥ 1.

Qn si Pn+1 ≥ Qn Pn+1 si Pn+1 < Qn

Estimation de l’instant de d´faut et de la taille de la rupture e Quand l’alarme est tir´e et l’hypoth`se nulle rejet´e, on souhaite estimer l’instant de rupture e e e r et la valeur du d´calage δ. On estime r par le premier point hors du masque r, puis δ par e Sn − Sr la valeur de la pente entre r et n donn´e par δ := σ × ˆ e . n−r ˆ

Pierre Bertrand

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Exercice 1 V´rifier que r correspond ` l’indice pour lequel le minimum de Pm est atteint, e a c-`-d. Pr = min Pm . a

m≤n

2.2

Algorithme num´rique e

en Matlab, Excel ou SAS ??

3

D’autres cartes de contrˆle. Crit`res de comparaison o e

Il existe diff´rentes cartes de contrˆle. Mˆme pour une carte donn´e, se pose le probl`me du e o e e e choix des param`tres. Dans la premi`re sous section, nous d´crivons les crit`res de comparaie e e e son, puis dans les sous-sections suivantes, nous d´crivons quelques cartes de contrˆle, connues e o soit pour leur rˆle historique (Shewhart), soit pour leur int´rˆt dans certains probl`mes. o ee e

3.1

Crit`res de comparaison e

Une description th´orique de la d´tection on line : e e On observe s´quentiellement la s´rie Xi , et on cherche une famille de temps d’arrˆt Tb pere e e mettant de d´tecter une rupture le plus vite possible en ´vitant le plus possible les fausses e e alarmes. Par exemple, pour la carte de contrˆle CUSUM unilat´ral, on d´finit le temps d’arrˆt o e e e Th = inf n ∈ N ∗ tel que Sn − n k − min Sm − m k > h

m≤n

qui correspond au premier instant d’alarme (situation jug´e hors contrˆle). Le param`tre e o e d’ajustement est b = h ∈ (0, ∞), les autres param`tres µ0 , σ, δ puis par cons´quence k = e e δ/(2σ) ´tant suppos´s connus. e e Fausse alarme, d´lai de d´tection : e e On appelle fausse alarme, la survenue d’une alarme ` un instant Th fini alors que le syst`me a e est sous contrˆle, ceci correspond ` l’´v´nement {Th < ∞} sous l’hypoth`se (H0). On nomme o a e e e d´lai de d´tection (ou retard ` la d´tection) la quantit´ (Th − r) sous l’hypoth`se (H1). La e e a e e e mauvaise nouvelle, c’est qu’avec toute les r`gles de d´tections il y a des fausses alarmes, plus e e pr´cis´ment I Th < ∞| H0 = 1. On ne peut donc pas demander ` une r`gle de ne pas e e P a e avoir de fausse alarme, avec une probabilit´ strictement positive. On mesure le taux de fausse e alarme par le temps moyen entre deux fausses alarmes (en anglais Average Run Length) ARL(b)