Rapport De Stage Ram

(t) = a sin ( 2πf2 t + ψ ) π ….

Système de numération

Système de numération décrit la façon avec laquelle les nombres sont représentés. Un système de numération est défini par : Un alphabet A : ensemble de symboles ou chiffres, Des règles d’écritures des nombres : Juxtaposition de symboles

Exemples de Système de numération (1)

Numération Romaine

Lorsqu’un symbole est placé à la droite d’un symbole plus fort que lui, sa valeur s’ajoute : CCLXXI 271 Lorsqu’un symbole est placé à la gauche d’un symbole plus fort que lui, on retranche sa valeur : CCXLIII 243 On ne place jamais 4 symboles identique à la suite : 9 s’écrit IX et non VIIII Le plus grand nombre exprimable est : 3999 ( MMMCMXCIX ) Système inadapté au calcul

Exemples de Système de numération (2)

Numération babylonienne

Chez les Babyloniens (environ 2000 ans avant J.C. ), les symboles utilisés sont le clou pour l’unité et le chevron pour les dizaines. C’est un système de position.

A partir de 60, la position des symboles entre en jeu :

204 : 7392 :

Le nombre 60 constitue la base de ce système.

Exemples de Système de numération (3)

Numération décimale :

C’est le système de numération le plus pratiqué actuellement. L’alphabet est composé de dix chiffres : A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Le nombre 10 est la base de cette numération C’est un système positionnel. Chaque position possède un poids. Par exemple, le nombre 4134 s’écrit comme :

4134 = 4 x 103 + 1 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100

Système de numération positionnel pondéré à base b

Un système de numérotation positionnel pondéré à base b est défini sur un alphabet de b chiffres : A = {c0,c1,…,cb-1} avec 0 ≤ ci < b Soit N = an-1 an-2 ...a1 a0 (b) : représentation en base b sur n chiffres ai : est un chiffre de l’alphabet de poids i (position i). a0 : chiffre de poids 0 appelé le chiffre de poids faible an-1 : chiffre de poids n-1 appelé le chiffre de poids fort La valeur de N en base 10 est donnée par :

N = an-1.bn-1 + an-2.bn-2 + ... + a0.b0(10)=

∑

n −1

a ib

i

i= 0

Bases de numération (Binaire, Octale et Hexadécimale)

Système binaire (b=2) utilise deux chiffres : {0,1}

C’est avec ce système que fonctionnent les ordinateurs

Système Octale (b=8) utilise huit chiffres :{0,1,2,3,4,5,6,7}

Utilisé il y a un certain temps en Informatique. Elle permet de coder 3 bits par un seul symbole.

Système Hexadécimale (b=16) utilise 16 chiffres :

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A=10(10),B=11(10),C=12(10),D=13(10),E=14(10),F=15(10)} Cette base est très utilisée dans le monde de la micro informatique. Elle permet de coder 4 bits par un seul symbole.

Transcodage (ou conversion de base)

Le transcodage (ou conversion de base) est l’opération qui permet de passer de la représentation d’un nombre exprimé dans une base à la représentation du même nombre mais exprimé dans une autre base. Par la suite, on verra les conversions suivantes:

Décimale vers Binaire, Octale et Hexadécimale Binaire vers Décimale, Octale et Hexadécimale

Changement de base de la base 10 vers une base b

La règle à suivre est les divisions successives :

On divise le nombre par la base b Puis le quotient par la base b Ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un quotient nul La suite des restes correspond aux symboles de la base visée. On obtient en premier le chiffre de poids faible et en dernier le chiffre de poids fort.

Exemple : décimale vers binaire

Soit N le nombre d’étudiants d’une classe représenté en base décimale par : N = 73(10) Représentation en Binaire?

73 1 2 36 2 0 18 2 0 9 1

73(10) = 1001001(2)

2 4 0

Vérification

2 2 0

2 1 1

2 0

Exemple : décimale vers octale

Soit N le nombre d’étudiants d’une classe représenté en base décimale par : N = 73(10) Représentation en Octale?

73 1 8 9 8 8 1 1 1 0

73(10) = 111(8)

Vérification

Exemple : décimale vers Hexadécimale

Soit N le nombre d’étudiants d’une classe représenté en base décimale par : N = 73(10) Représentation en Hexadécimale?

73 9 16 4 16 4 0

73(10) = 49(16) Vérification

de la base binaire vers une base b -Solution 1Première solution :

convertir le nombre en base binaire vers la base décimale puis convertir ce nombre en base 10 vers la base b.

Exemple :

10010(2) = ?(8) 10010(2) = 24+2(10)=18(10)=2*81+2*80(10)=22(8)

de la base binaire vers une base b -Solution 2Deuxième solution :

Binaire vers décimale : par définition (

∑

n −1

a ib

i

i= 0

)

Binaire vers octale : regroupement des bits en des sous ensembles de trois bits puis remplacer chaque groupe par le symbole correspondant dans la base 8.(Table) Binaire vers Hexadécimale : regroupement des bits en des sous ensembles de quatre bits puis remplacer chaque groupe par le symbole correspondant dans la base 16.(Table)

Correspondance Octale \Binaire

Symbole Octale suite binaire 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Retour

Correspondance Hexadécimale \Binaire

Hexadécimale\Binaire S. Hexad. suite binaire S. Hexad. suite binaire 0 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111 Retour

Exemple : binaire vers décimale

Soit N un nombre représenté en binaire par : N = 1010011101(2) Représentation Décimale?

N=1.29+0.28+1.27+0.26+0.25+1.24+1.23+1.22+0.21+1.20 =512 + 0 + 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 =669(10)

1010011101(2)=669(10)

Exemple : binaire vers octale

Soit N un nombre représenté en base binaire par : N = 1010011101(2) Représentation Octale? N = 001 = 1 010 2 011 101(2) 3 5 (8)

1010011101(2)= 1235(8)

Exemple : binaire vers Hexadécimale

Soit N un nombre représenté en base binaire par : N = 1010011101(2) Représentation Hexadécimale? N = 0010 1001 1101(2) = 2 9 D (16)

1010011101(2)= 29D(16)

Exercice

Introduction Systèmes de numérotation et Codage des nombres

Systèmes de numérotation Système de numération décimale Représentation dans une base b Représentation binaire, Octale et Hexadécimale Transcodage ou changement de base

Plan

Codage des nombres

Codage des entiers positifs (binaire pur ) Codage des entiers relatifs (complément à 2 ) Codage des nombres réels ( virgule flottante)

Codage des caractères :

ASCII et ASCII étendu, Unicode , …

Codage du son et des images

Codage des entiers naturels (1)

Utilisation du code binaire pur :

L’entier naturel (positif ou nul) est représenté en base 2, Les bits sont rangés selon leur poids, on complète à gauche par des 0. Exemple : sur un octet, 10(10) se code