Théorèmes et propriétés à connaître en seconde

MATHS : théorèmes, propriétés … à connaître (2e) [pic 1]

• Les Théorèmes :

- Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors la somme des longueurs des deux côtés aux carrés est égale à celle de l’hypoténuse au carré.

Algébriquement :  dans le plan ci – dessous :

[pic 2]

Si ABC est un triangle rectangle alors : AC² = AB² + BC²

Réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré des longueurs des deux côtés est égal à celle de l’hypoténuse, alors ce triangle est rectangle.

Contraposée du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré des longueurs des deux côtés n’est pas égal à celle de l’hypoténuse, alors ce triangle n’est pas rectangle.

- Théorème de Thalès : Si deux triangles sont semblables, alors leurs longueurs sont proportionnelles.

Algébriquement : dans le plan ci – dessous :

[pic 3]

Si les triangles ABC et AEF sont semblables (mêmes angles), alors, les longueurs sont proportionnelles :

AB/ AE = AC/AF = BC/ EF = coefficient multiplicateur

Réciproque du théorème de Thalès : Si on détermine un coefficient multiplicateur commun par rapport aux quotients des longueurs, alors elles déterminent deux droites parallèles (et donc deux triangles semblables).

🡪 Technique : Faire deux quotients de deux longueurs des deux triangles pour comparer le coefficient multiplicateur. (Ex : AB / AE et AC / AF 🡪 si les 2 sont égaux alors les longueurs sont proportionnelles et les triangles sont semblables sinon ce n’est pas le cas).

Contraposée du théorème de Thalès : Si deux droites ne sont pas parallèles, alors elles ne déterminent pas deux triangles semblables.

• Les Propriétés :

- Propriétés des vecteurs : la relation de Chasles :[pic 4]

[pic 5]

- Propriétés du parallélogramme :

• ABCD est un parallélogramme, si et seulement si :

[pic 6]

Donc, un parallélogramme a ses deux côtés opposés égaux et parallèles. 

• ABCD est un parallélogramme, si et seulement si : AC et BD se croisent en leur milieu. 

- Propriété du triangle :

Dans un triangle, les hauteurs issues de chaque sommet se croisent en un point, l’orthocentre du triangle.

• Les identités remarquables :

[pic 7]

• IRL1 : (a + b)² = a² + 2ab + b²
• IRL2 : (a - b)² = a² - 2ab + b²
• IRL3 : (a + b) (a – b) = a² - b²

• La Trigonométrie :

1. Le cosinus, le sinus et la tangente :

Dans un triangle rectangle (seulement), on définit :

Formule : CAH SOH TOA[pic 8]

• Cosinus (Cos) = Côté adjacent / Hypoténuse
• Sinus (Sin) = Côté opposé / Hypoténuse
• Tangente (Tan) = Côté opposé / Côté adjacent

[pic 9]

Noms importants dans ce plan :

[pic 10]

Remarque : les côtés adjacents et opposés dépendent de l’angle.

- Le côté adjacent est celui qui « touche » l’angle

- Le côté opposé est celui qui est en face de l’angle

- L’hypoténuse reste le même, c’est celui en face de l’angle droit

1. Les relations trigonométriques :

[pic 11]

🡪 Tan(α) = Sin(α) / cos(α)

🡪 Cos²(α) + Sin²(α) = 1

Remarque :

0 < cos(α) < 1

0 < sin(α) < 1

• Les formules

1. Les aires des figures

Aire du triangle : B*h / 2

Aire du triangle rectangle : B*h / 2 ou (L*l) / 2

Aire du parallélogramme : B*h

Aire du cercle : R² * π 🡪 Périmètre du cercle : D* π ou R*2* π

Aire du rectangle : l*L

Aire du carré : c²

…

Remarque :

B signifie « Base »

h signifie « hauteur »

l signifie « longueur »

L signifie « Largeur »