Processus Stochastiques

introduire les premiers éléments d’ analyse des séries chronologiques, il paraît utile de considérer un certain nombre d’ exemples. La représentation graphique d’ une série chronologique est plus qu’ un "simple dessin". Elle est indispensable à la compréhension. Elle est au sens premier la statistique exhaustive. Elle doit être le premier temps de l’ étude. Les di¤érentes séries présentées nous serviront de support tout au long de ce cours. Pour ces exemples nous donnons l’ ensemble des valeurs numériques et les graphiques des séries sans aucune transformation, appelées parfois "séries brutes", puis transformées par logarithme népérien (noté LN dans les graphiques), en di¤érence d’ ordre 1 (noté DELTA) et d’ ordre saisonnier (noté DELTA 4 pour les trimestres et DELTA 12 pour les mois). Ces notions seront dé…nies dans la suite de ce cours.

1 c 1980 2007 Philippe JOLIVALDT PARIS1 Permission d’ utiliser ce document pour un usage étudiant strictement personnel (ni professionnel ni commercial)

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CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES

1.2.1

Airline data

Le premier exemple nommé dans la littérature ” Airline data” (AIRLD) est composé de données mensuelles sur le tra…c passager, transport aérien international, introduites par Box et Jenkins. Elles sont devenues, avec le temps un point de passage obligé. Adapté (très bien...) à la méthode d’ estimation des séries chronologiques développée par ces deux auteurs, cet exemple demeure une référence pour toute nouvelle méthode d’ estimation.

1.2.2

Carte orange

Cette série représente les ventes mensuelles en milliers de coupons de carte orange, système de vente de tickets de transport en commun en Ile de France. (Source : Régie Autonome des Transports Parisiens).

1.2. DES EXEMPLES

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1.2.3

PIB France

Cette série représente le Produit intérieur brut en France, données trimestrielles brutes (Source : OCDE)

1.2.4

Prix tra…c routier France

Cette série représente le prix moyen trimestriel de la tonne-kilomètre transportée par route, en France, sous forme d’ indice des prix base 1995 (Source : Ministère des transports).

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CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES

1.3

Processus stochastiques

Le cadre nécessaire à l’ étude des processus stochastiques est celui d’ espace de probabilité et l’ un introduction de la notion de variable aléatoire. Rappelons simplement quelques dé…nitions de base en renvoyant le lecteur à ses cours des premières années, au livre complet, d’ bon niveau, de Neveu ou au un livre d’ Ouvrard, très riche en exemples. Dé…nition 1.1 Un espace de probabilité est un triplet ( ; A; P) où désigne un ensemble (parfois appelé espace des résultats de l’ épreuve), A une famille de sous-ensembles de stable par passage à la partie complémentaire et par union dénombrable, appelée algèbre et P une mesure positive sur ( ; A) telle que P ( ) = 1 (appelée probabilité). Dé…nition 1.2 Soit un espace de probabilité ( ; A; P) et X une application de variable aléatoire réelle (en abréviation v.a.r.) si quelque soit l’ intervalle I de R X

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dans R. X est une

(I) 2 A

La première di¢ culté réside dans le fait que l’ appellation ” variable”peut induire en erreur : une v.a.r. est une application de dans R. La deuxième est dans sa dé…nition : X est une v.a.r. si toute image réciproque d’ intervalle quelconque de R peut (et doit) se voir a¤ecter d’ un une mesure par P. Ainsi, vous jouez à pile ou face et chacun de ces deux évènements possède une probabilité 1=2 de réalisation. Vous gagnez un euro avec une probabilité 1=2 ou vous le perdez. A priori, il n’ existe pas de probabilité sur les euros. La variable aléatoire ” trouve” sa mesure par image réciproque sur l’ espace (pile; f ace) muni de la probabilité de Bernoulli2 . Rappelons simplement les dé…nitions suivantes : Dé…nition 1.3 Soit un espace de probabilité ( ; A; P). Soit X une v.a.r. Z E(X) = X(!)dP(!) V ar(X) = E(X E(X))2 Dé…nition 1.4 Soit X1 et X2 deux v.a.r. dé…nies sur un même espace de probabilité ( ; A; P). X; Y sont indépendantes si 8A1 ; 8A2 ; P (X1 2 A1 ; X2 2 A2 ) = P (X1 2 A1 ) P (X2 2 A2 )

1.3.1

Dé…nition d’ processus stochastique un

Soit T une partie de Z ou de R. Dé…nition 1.5 Un processus stochastique est une famille de variables aléatoires (Xt ) ; t 2 T , dé…nies sur un espace de probabilité ( ; A, P) à valeurs réelles pour un processus réel, à valeurs dans RK pour un processus réel vectoriel. La spéci…cité d’ processus stochastique réside dans cette structure de fonction de deux variables un X(t; !) que nous écrirons souvent Xt (!). Dé…nition 1.6 A ! 2 …xé, la fonction X: (!) de t est appelée réalisation ou trajectoire du processus. A t …xé, la fonction Xt (:) de ! est une variable aléatoire.

(sans i avant les ll) est l’ des 4 Bernoulli : le premier Jakob (suisse 1654-1705) francisé Jacques a travaillé un sur le calcul in…nitésimal, sur les probabilités, en particulier sur cette distribution et sur les fameux polynômes et nombres du même nom. Un second, Johan, francisé Jean (1667-1748), frère du premier, étudie le calcul in…nitésimal, ”travaille” contre rénumération pour un certain L’ HOPITAL dont il écrit les ”règles”. Les deux derniers Daniel et Nicolas sont plus éclectiques, tout en produisant des résultats en analyse. Notons que Daniel pré…gure dans son analyse de l’ accroissement de la richesse, les premiers pas de la théorie de l’ utilitarisme.

2 Bernoulli

1.3. PROCESSUS STOCHASTIQUES

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La …gure suivante montre un exemple sommaire de processus. A un instant donné, en coupe, il existe une distribution, ici gaussienne (ou normale ou de Laplace-Gauss3 ) dont le point de la trajectoire s’ interprète comme une réalisation d’ une v.a.r. gaussienne. L’ association de l’ ensemble de ces points, pour un tirage aléatoire, donne une trajectoire.

En économie, l’ ensemble des indices, continu ou discret, correspond, le plus souvent, au déroulement du temps. Nous parlerons donc souvent, par abus de langage, d’ ensemble d’ un indice temporel et d’ indice un ” temps” Si l’ . ensemble est continu, l’ appellation de processus (continu) est utilisée. Lorsque l’ ensemble des indices est l’ ensemble Z, ou l’ ensemble N, nous parlons de processus discret ou de série chronologique. DANS LA SUITE DE CE COURS NE SERONT ETUDIES QUE DES PROCESSUS A TEMPS DISCRET OU SERIES CHRONOLOGIQUES

1.3.2

Famille cohérente de fonctions de répartition, de lois

Dans la majorité des cas, seul un nombre …ni d’ éléments d’ une série chronologique est observé. C’ est sur cette partie, ce tronçon ou parfois des tronçons successifs de la série que l’ économètre va devoir travailler. Exemple 1.1 Soit une suite de variables aléatoires indépendantes (Xt ) ; t 2 Z tel que P(Xt = 1) = P(Xt = 1) = 1 2

3 Gauss Carl (1777-1855) Ce talent mathématique allemand aurait sans doute à notre époque reçu un nombre élevé de médailles FIELD (équivalent mathématique du prix Nobel). De l’ algèbre à l’ analyse ses résultats sont variés et novateurs. La distribution de probabilité qui porte son nom (associé à Laplace) est pour lui surtout un outil d’ analyse. Il développe les techniques d’ approximation par les moindres carrés.

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CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES

A priori, on observe une suite de n-uple (i1 ; : : : ; in ) avec ik = 1. Cet ensemble a pour distribution marginale 1 P(X1 = i1 ; : : : Xn = in ) = n 2 Exemple 1.2 Si la série chronologique (Xt ) ; t 2 Z précédente représente une suite de gains dans un jeu à pile ou face, le gain, à la t ème partie, peut s’ écrire St =

t X i=1

Xi

Soit Tk = ft1 ; :::; tk g un ensemble de k entiers relatifs et XTk = (Xt1 (!); :::Xtk (!))0 un vecteur aléatoire de Rk . Dé…nition 1.7 La fonction de répartition F d’ vecteur XTk est dé…nie par un F (a1 ; :::; ak ) = P (!=Xt1 (!) a1 ; :::Xtk (!) ak ) ; (a1 ; :::; ak )0 2 Rk

Dé…nition 1.8 A toute partie …nie In = [ n; : : : n] Z est associée l’ espace produit RIn . A toutes parties In , Im ainsi dé…nies, nous associons la projection canonique

In ;Im