Logique Binaire

vérité X 0 0 1 1 o Équation

R = X.Y

Y 0 1 0 1

R 0 0 0 1

o

Schématisation par interrupteurs Le ET logique est réalisé par la mise en série des deux interrupteurs X et Y, il faut que les deux interrupteurs soient actifs (1) pour que le résultat R soit lui aussi à 1

T8 est un traitement qui produit un résultat égal à 1 si X = 1 OU si Y = 1 OU si X = 1 et Y = 1. C’est la fonction logique OU (or). o Symboles Symbole anglosaxon 2

Symbole européen o Table de vérité X 0 0 1 1 o Équation

R=X+Y

Y 0 1 0 1

R 0 1 1 1

o

Schématisation par interrupteurs Le OU logique est réalisé par la mise en dérivation des deux interrupteurs X et Y, il suffit qu’un des deux interrupteurs soient actifs (1) pour que le résultat R soit lui aussi à 1

T15 est le traitement complémentaire de T2, c’est la fonction ET NON (nand). o Symboles Symbole anglosaxon Symbole européen o Table de vérité X 0 0 1 1 o Équation Y 0 1 0 1 R 1 1 1 0

R = X.Y

o Schématisation par interrupteurs

3

T9 est le traitement complémentaire de T8, c’est la fonction OU NON (nor). o Symboles Symbole anglosaxon Symbole européen o Table de vérité X 0 0 1 1 o Équation R o Schématisation par interrupteurs Y 0 1 0 1 R 1 0 0 0

T7 est un traitement qui produit un résultat égal à 1 si X = 1 OU si Y = 1 mais pas si X = 1 OU si Y = 1. C’est la fonction logique OUexclusif (xor). o Symboles Symbole anglosaxon Symbole européen o Table de vérité X 0 0 1 1 o o Équation Schématisation par interrupteurs Le OU exclusif peut s’exprimer par une équation logique exprimant la réunion des deux lignes de la table de vérité qui ont un résultat au niveau logique 1 soit : Y 0 1 0 1 R 0 1 1 0

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T10 est le traitement complémentaire de T7, cette fonction est à un lorsque les variables d’entrée sont identiques, c’est la fonction Identité. o Symboles Symbole anglo-saxon Symbole européen o Table de vérité X 0 0 1 1 o o Équation Schématisation par interrupteurs L’identité peut aussi s’exprimer par une équation logique exprimant la réunion des deux lignes de la table de vérité qui ont un résultat au niveau logique 1 soit : Y 0 1 0 1 R 1 0 0 1

T3 et T5 : opération d’inhibition. o T3 est l’inhibition de X par Y,

R= X si Y = 0, R = 0 si Y = 1 o

Équation

R=X.

o o

T5 est l’inhibition de Y par X.

R= Y si X = 0, R = 0 si X = 1 :

Équation

R=Y.

T12 et T14 : opération d’implication. o T12 est l’implication de Y par X

R = 1 si X Y

o

T14 est l’implication de X par Y. R = 1 si Y X.

Postulats

X =0 =X

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Règles de De Morgan

X+Y X.Y

Fonctions logiques Une fonction logique ou fonction booléenne est une grandeur qui ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1. La valeur de la fonction dépend de celles des variables binaires. On écrit F = f(x1, x2, x3, ....., xn) pour représenter la combinaison de n variables binaires reliées entre elles par les symboles des opérations logiques définies précédemment. exemple : soit L une lampe qui peut être « allumée » ou « éteinte » et X et Y les interrupteurs à deux positions (X0 - X1 , Y0 - Y1). Le fonctionnement de la lampe est défini de la manière suivante X X0 X0 X1 X1 Y Y0 Y1 Y0 Y1 L éteinte allumée allumée éteinte

La lampe est allumée si X0 . Y1 ou si X1 . Y0 . La fonction logique qui caractérise le fonctionnement de la lampe L s’écrira en fonction de l’état des interrupteurs : L = f ( X, Y ) = X0.Y1 + X1.Y0 Logigramme : le logigramme est une représentation de la fonction logique réalisée qui utilise les symboles normalisés. Pour la fonction précédente, le logigramme est le suivant : (avec et )

Formes canoniques des fonctions booléennes. Soit la table de vérité suivante : X2 0 0 0 0 1 1 1 1 X1 0 0 1 1 0 0 1 1 X0 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 0 0 1 0 1 1 1

X 0 . X1 . X 2

X 0 . X1 . X 2 X 0 . X1 . X 2

X 0 . X1 . X 2

X 0 . X1 . X 2 X 0 . X1 . X 2 X 0 .X 1 . X 2

X0 . X1 . X2

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Les huit combinaisons des variables binaires X0, X1, X2, classées dans l’ordre binaire naturel, montrent que la fonction de sortie S prend, pour certaines combinaisons des variables la valeur 1, pour d’autres, la valeur 0. La réunion des intersections pour lesquelles la fonction S est égale à 1 constitue la première forme canonique de S. Il vient : S=

X 0 . X1 . X2

+

X 0 . X1 . X2

+

X0 .X1 . X2

+

X0 . X1 . X2

La première forme canonique est une expression qui réunie tous les 1 de la fonction, chaque 1 correspond à l’intersection de toutes les variables. L’expression de S est dans ce cas simplifiable, en effet : S= S= S= S= S= + X0 . X1 . X2 + X0 .X1 . X2 + X 0 . X1 . X2 + X0 . X1 . X2 + X 0 . X1 . X2 + X0 . X1 . ( X2 X2 ) + X 0 . X2 . ( X1 + X1 ) + X0 . X1 . (1) + X0 . X2 . ( 1 ) + X1 . X2 . ( 1 )

X 0 . X1 . X2

X0 . X1 . X2 X0 . X1 . X2 + X0 .X1 . X2

X1 . X2 . ( X0 + X0 )

+

X0 . X1 . X2

X0 . X1

+

X0 . X2

+

X1 . X2

S = X0 . X1 . X2 + X0 . X1 . X2 + X0 .X1 . X2 Posons En utilisant le théorème de De Morgan il vient :

+ X0 . X1 . X2

S = ( X0 X1 X2 ) . ( X0 X1 X2 ) . ( X0 X1 X2 ) . ( X0 X1 X 2 )

Cette expression construite en utilisant les intersections de réunions est la deuxième forme canonique. Si dans la table de vérité de la fonction S nous réunissons les 0, nous aboutissons à la définition de S = X0.X1.X2 + X0.X1.X2 + X0.X1.X2 + X0.X1.X2

S = X0 .X1.X2 + X0 .X1.X2 + X0 .X1.X2 + X0 .X1.X2 S = (X 0 .X1.X2 ).(X 0 .X1.X2 ).(X 0 .X1.X2 ).(X 0 .X1.X2 )

La deuxième forme canonique de la fonction S est donc :

S = (X0 + X1 + X2).(X0 + X1 + X2 ).(X0 + X1 + X2 ).(X0 + X1 + X2)

Cette deuxième forme canonique se présente sous la forme d’intersections de réunions. Expression numérique des fonctions booléennes. Dans un but de simplification de l’écriture d’une fonction booléenne nous pouvons associer à chaque intersection constituant la fonction associer à chaque nombre binaire constitué par ces intersections sa valeur décimale. Cette écriture n’est possible qu’après avoir défini le poids de chacune des variables. 22 X2 0 0 0 0 1 1 1 1 21 X1 0 0 1 1 0 0 1 1 20 X0 0 1 0 1 0 1 0 1

équivalent décimal S 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7

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On peut écrire : S = Réunion ( X2 . X1 . X0 + X2 . X1 . X0 + X2 . X1 . X0 + X2 . X1 . X0 ) Ou S = Réunion (011, 101, 110, 111) ou S = R (011, 101, 110, 111) Et en remplaçant les valeurs binaires par leur équivalent décimal : S = R ( 3, 5, 6, 7 ). Matrice des combinaisons ou table de Karnaugh. La table de Karnaugh permet une écriture plus condensée de la table de vérité, c’est en fait une table de vérité dans laquelle les variables sont réparties en lignes et en colonnes. Exemple : soit F = R (1, 3, 5, 6, 7, 12, 14, 15) la table de Karnaugh associée à cette fonction s’écrit : X1 X0 

X3 X2

 0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 3 2

0

4 5

1

7

1