Maths Fonctions

)

Exemple : On représente à l'aide la calculatrice les fonctions f1 , f 2 et f3 telles que :

f1 (x) = x 2 f 2 (x) = 3x 2 f3 (x) = −3x 2

Pour une même abscisse, un point de la courbe représentative de f 2 possède une ordonnée égale au triple de l'ordonnée du point de la courbe de f1 . Les courbes représentatives de f 2 et de f3 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Yvan

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III. Fonction associée

u

Exemples : - Soit u la fonction définie sur  par u(x) = 2 + x 2 Alors la fonction, définie sur  , x  2 + x 2 est la fonction - Soit v la fonction définie sur  par v(x) = x + 1 . Alors la fonction

v est définie sur  par u.

( v )(x) =

v(x) =

x +1

Propriété : Soit une fonction monotone u définie sur intervalle I telle que pour tout x de I, u(x) ≥ 0 . Les fonctions

u et u ont le même sens de variation sur I.

Démonstration : - u est croissante sur I et à valeurs positives signifie que pour tout réel a et b de I tels que a < b, on a 0 ≤ u(a) ≤ u(b) . La fonction racine carrée est croissante sur ⎡0;+∞ ⎡ donc on a : ⎣ ⎣ - La démonstration est analogue pour la décroissance. Méthode : Déterminer les variations d'une fonction à l'aide d'une fonction associée Démontrer que la fonction f définie par f (x) = 2x − 6 est croissante sur l'intervalle ⎡3;+∞ ⎡ . ⎣ ⎣ La fonction u définie sur ⎡3;+∞ ⎡ par u(x) = 2x − 6 est positive et strictement ⎣ ⎣ croissante sur cet intervalle. On en déduit que la fonction

( u )(a) < ( u )(b) . Ce qui signifie que

u(a) ≤ u(b) , soit :

u est croissante sur I.

u = f est également strictement croissante sur

⎡3;+∞ ⎡ . ⎣ ⎣

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IV. Fonction associée

1 u

Exemple : - Soit u la fonction définie sur  par u(x) = 3x 2 + 1 Alors la fonction, définie sur  , x 

1 1 est la fonction . u 3x + 1

2

- Soit v la fonction définie sur  par v(x) = − x 2 + 1 . Alors la fonction

⎛ 1⎞ 1 1 1 est définie sur  par ⎜ ⎟ (x) = =− v v(x) ⎝ v⎠ x2 + 1

Propriété : Soit une fonction monotone u définie sur intervalle I sur lequel u a un signe constant et ne s'annule pas. 1 Les fonctions et u ont des sens de variation contraire sur I. u Démonstration pour u croissante et à valeurs strictement positive : u est croissante sur I et à valeurs strictement positives signifie que pour tout réel a et b de I tels que a < b, on a 0 < u(a) ≤ u(b) .

1 1 ≤ La fonction inverse est décroissante sur ⎤0;+∞ ⎡ , donc on a : 0 < , soit : ⎦ ⎣ u(b) u(a)

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 est décroissante sur I. 0 < ⎜ ⎟ (a) ≤ ⎜ ⎟ (b) . Ce qui signifie que u ⎝ u⎠ ⎝ u⎠

Méthode : Déterminer les variations d'une fonction à l'aide de fonctions associées 1) Démontrer que la fonction g définie par g(x) = l'intervalle ⎤ 2;+∞ ⎡ . ⎦ ⎣ 2) Démontrer que la fonction h définie par h(x) = l'intervalle ⎤0;+∞ ⎡ . ⎦ ⎣

1 est croissante sur 2− x −2 + 1 est croissante sur x

1) La fonction u définie sur ⎤ 2;+∞ ⎡ par u(x) = 2 − x est négative et strictement ⎦ ⎣ décroissante sur cet intervalle. 1 On en déduit que la fonction = f est strictement croissante sur ⎤ 2;+∞ ⎡ . ⎦ ⎣ u

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1 2) La fonction u définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par u(x) = est strictement décroissante sur cet ⎦ ⎣ x intervalle. La fonction −2u est donc strictement croissante sur ⎤0;+∞ ⎡ et donc la fonction