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eur au prêteur, pour rémunérer le service rendu par la mise à disposition d’une somme d’argent pendant une période de temps. Trois facteurs essentiels déterminent le coût de l’intérêt: la somme prêtée, la durée du prêt, et le taux auquel cette somme est prêtée. Il y a deux types d’intérêt: l’intérêt simple et l’intérêt composé. " #$ %& ! Plusieurs raisons ont été avancées pour justifier l’existence et l’utilisation de l’intérêt, parmi lesquelles on peut citer : La privation de consommation: Lorsqu’une personne (le prêteur) prête une somme d’argent à une autre (l’emprunteur), elle se prive d’une consommation immédiate. Il est ainsi normal qu’elle reçoive en contrepartie une rémunération de la part de l’emprunteur pour se dédommager de cette privation provisoire. La prise en compte du risque: Une personne qui prête de l’argent, le fait pour une durée étalée dans le temps. Elle court, dès lors, un risque inhérent au futur. La réalisation de ce risque résulte au moins des éléments suivants : l’insolvabilité de l’emprunteur : dans le cas où l’emprunteur se trouve incapable de rembourser sa dette, lorsque celle-ci vient à échéance, le prêteur risque de perdre l’argent qu’il a déjà prêté. Il est alors normal qu’il exige une rémunération pour couvrir le risque encouru et dont l’importance sera appréciée en fonction de la probabilité de non remboursement. l’inflation : entre la date de prêt et la date de remboursement, la valeur du prêt peut diminuer à la suite d’une érosion monétaire connue également sous le nom d’inflation. Le prêteur peut donc exiger une rémunération pour compenser cet effet.

" " %' D’après ce qui précède, le taux d’intérêt apparaît comme le taux de transformation de l’argent dans le temps. Cette relation entre temps et taux d’intérêt signifie que deux sommes d’argent ne sont équivalentes que si elles sont égales à la même date. Dès lors, pour pouvoir comparer deux ou des sommes disponibles à différentes dates le passage par les techniques de calcul actuariel (capitalisation et actualisation) devient nécessaire. "" L’actualisation est une technique qui consiste à faire reculer dans le temps une valeur future pour calculer sa valeur présente appelée Valeur Actuelle. La valeur actuelle C0 d’une somme d’argent C1 disponible dans une année et placée au taux t, est donnée par la formule suivante: -1 C0 = C1 (1 + t) Dès lors, la valeur actuelle C0 d’une somme d’argent Cn disponible dans n années d’intervalle et placée au taux t est égale à: C0 = Cn (1 + t)

-n

t0 Valeur actuelle C0 = ? C = C (1+t)-n

0 n

tn Actualisation Valeur future Cn

"( Contrairement à l’actualisation, la capitalisation consiste à faire avancer dans le temps une valeur présente pour calculer sa valeur future appelée aussi Valeur Acquise. La valeur acquise C1 d’une somme d’argent présente C0 capitalisée au taux t pendant une année est égale à: C1 = C0 (1 + t) Dès lors, la valeur future Cn d’une somme d’argent présente C0 disponible après n années et placée au taux t est égale à: Cn = C0 (1 + t) t0 Valeur actuelle C0

n

Capitalisation

tn Valeur future Cn = ?

Cn = C0 (1+t)

n

( ( %' %)&*' &'' %& L’intérêt simple se calcule toujours sur le principal. Il ne s’ajoute pas au capital pour porter lui même intérêt. L’intérêt simple est proportionnel au capital prêté ou emprunté. Il est d’autant plus élevé que le montant prêté ou emprunté est important et que l’argent est prêté ou emprunté pour longtemps. Il est versé en une seule fois au début de l’opération, c’est à dire lors de la remise du prêt, ou à la fin de l’opération c’est à dire lors du remboursement. L’intérêt simple concerne essentiellement les opérations à court terme (inférieures à un an). (" Soit, & %# ' & +#

C : le montant du capital prêté ou emprunté en dinar (valeur nominale) t : le taux d’intérêt annuel (en pourcentage ) n : la durée de placement (en année ) I : le montant de l’intérêt à calculer en dinar V : la valeur acquise par le capital en dinar (valeur future) on a : I = C. t%. n

I = et C.t.n 100

V =C+I C.t.n V= C+ 100

V= C 1 + t.n 100

Remarques: Si la durée du placement est exprimée en mois, on aura : t n I = C. . 100 12

I= C.t.n 1200

Et

V = C 1+

t.n 1200

Si la durée du placement est exprimée en jours, on aura: t n I = C. . 100 360 I= C.t.n 36000

Et

V = C 1+

t.n 36000

Pour une durée de placement exprimée en jours, l’usage fait que l’intérêt est calculé sur la base de l’année financière ou commerciale comptant 360 jours et non pas l’année civile comptant 365 jours ou 366 jours. L’exception est faite pour les comptes à terme et les bons de caisse dont l’intérêt servi est calculé sur la base de l’année civile, c’est à dire 365 jours. Par ailleurs, il faut aussi signaler que lorsque la durée est exprimée en jours, les mois sont comptés à leur nombre exact de jours, et on ne tient compte que de l’une des deux dates extrêmes. Exemple: Une somme de 10000 dinars est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simple de 7 % 1/ Calculer le montant de l’intérêt produit à l’échéance. 2/ Calculer la valeur acquise par ce capital. 3/ Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 dinars.

Solution : C.t.n 1/ On a : I = , C = 10000, t = 7, Calculons alors le nombre de jours de placement. 36000

Avril = Mai = Juin = Juillet = Août = I= 7 31 30 31 9

108 jours

10000.7.10 8 = 210 dinars 36000

2/ La valeur acquise par ce capital est égale à V, V = C + I = 10000 + 210 = 10210 dinars

3/ Date de remboursement correspondant à un intérêt de 315 dinars C.t.n 36000. I 36000. 315 I= donc n = n = = 162 jours 36000 C.t 10000.7 Avril Mai Juin Juillet Août Septembre = = = = = = 7 31 30 31 31 30 160 2

Octobre =

162 Date de remboursement = 2 octobre

(( &#, * # $ ' &% * $ $ *# & $ Soit J opérations de placement simultanées à intérêt simple de sommes Cj, aux taux tj, sur nj jours.

Opération de placement 1 2 …………………………… J Capital C1 C2 …………………………… CJ Taux t1 t2 …………………………… tJ Durée n1 n2 …………………………… nJ Le taux moyen de cette série de placement est un taux unique T qui, appliqué à cette même série, permet d’obtenir le même intérêt total. L’intérêt total de cette série est égal à : C . t .n C . t .n C . t .n I = 1 1 1 + 2 2 2 + .............. + J J J 36000 36000 36000

D’après la définition, le taux moyen de placement sera calculé par la résolution de l’égalité suivante : C1. t1 .n1 C 2 . t 2 .n 2 C . t .n C . T .n1 C 2 . T .n 2 C . T .n J + + .............. + J J J = 1 + + .............. + J 36000 36000 36000 36000 36000 36000

J i =1

C i . t i .ni = T.

J i =1

C i . ni

J

T=

i =1 J

C i . t i .n i C i . ni

i =1

Exemple Calculer le taux moyen de placement des capitaux suivants : 2000 dinars placés à 3% pendant 30 jours, 3000 dinars placés à 4% pendant 40 jours et 4000 dinars placés à 5% pendant 50 jours.

Solution :

T=

2000. 3. 30 + 3000. 4. 40 + 4000. 5. 50 = 4,37 % 2000.30 + 3000.40 + 4000.50

(. * %)#/ * 0 %) / &#, % Comme on l’a déjà signalé, selon les modalités du contrat de prêt ou de placement, les intérêts peuvent être versés en début ou en fin de période : • Lorsque les intérêts sont payés en fin de période, on dit qu’ils sont post-comptés ou terme échu. Ils sont calculés au taux d’intérêt simple, sur le capital initial C qui représente le nominal. Ils sont ajoutés ensuite, au nominal pour constituer le capital final V (valeur acquise). t.n Pour un capital initial égal à C on a donc V = C 1 + 36000 • Lorsque les intérêts sont payés en début de période, on dit qu’ils sont précomptés ou terme à échoir. Ils sont calculés sur le nominal, qui constitue