Equation Inequation

ui équivaut à [pic], soit encore à [pic].

On obtient ainsi le couple solution : [pic].

• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l'apparition d'écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.

Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l'une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l'on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l'autre équation.

Exemple

Dans le système [pic], on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : [pic].

On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par le résultat ; on obtient le système équivalent : [pic], soit encore [pic]ou [pic].

On en déduit le couple solution : [pic].

• Un système peut n'avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.

Soit le système : [pic]. Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c'est-à-dire si [pic], ce système a une infinité de solutions ou pas de solution du tout :

– si de plus [pic], alors le sysème n'a pas de solution ;

– si [pic](les coefficients des deux équations sont proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.

• On trouvera au paragraphe 4 de la fiche « Lire ou compléter un algorithme », un algorithme permettant de résoudre tout système de deux équations du premier degré à deux inconnues.

3. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant des carrés ?

• Pour résoudre une équation comportant des carrés, on revient à une écriture de la forme [pic]. Deux nombres opposés ont le même carré, donc :

[pic]équivaut à [pic]ou [pic].

Exemple

Résoudre [pic]revient à écrire : x −1 = 3 ou x −1 = −3,

soit x = 4 ou x = −2, d'où S = {−2 ; 4}.

• Pour résoudre une inéquation comportant des carrés, on transpose tous les termes dans un seul membre et on factorise, si possible, en un produit de facteurs du premier degré.

On peut alors en déduire l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.

Exemple

Résoudre [pic]revient à écrire : [pic].

On reconnaît alors la différence de deux carrés : [pic].

D'où : [pic], ou encore : [pic].

On conclut à l'aide d'un tableau de signes :

|[pic] |

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|Zoom |

Le produit est négatif sur l'intervalle [ - 2 ; 4], d'où : S = [- 2 ; 4].

4. Quelles sont les méthodes pour résoudre une équation ou une inéquation comportant l'inconnue au dénominateur ?

• Dans le cas d'une équation, on écrit l'égalité des « produits en croix » pour obtenir une égalité sans dénominateur.

Exemple

Pour [pic], résoudre l'équation [pic]équivaut à résoudre : [pic].

D'où : [pic], ou encore [pic], soit x = 3.

L'ensemble des solutions est S = {3}.

• Dans le cas d'une inéquation, on transpose tous les termes dans un seul membre et on fait apparaître si possible un quotient de facteurs du premier degré. On peut alors déterminer l'ensemble des solutions à l'aide d'un tableau de signes.

Exemple

Pour [pic], résoudre l'équation [pic]équivaut