La géométrie euclidienne

2. La géométrie euclidienne un outil d'architecture. 

L'objectif de cette partie est de montré des liens clairs entre la géométrie Euclidienne et l'architecture. Pour cela, nous nous attarderons sur deux exemples d'époque très différente. A travers ces exemples, nous pourront constater l'interaction mutuelle des branches et mettrons en avant le facteur limitant qu'est la géométrie pour les architectes. De plus nous verrons que la géométrie pures peut avoir une dimension toute autre lorsque elle est mise au profit de réalisation architecturale. Les formes étudier en mathématique servent les architectes à la réalisations de structures fonctionnel mais également esthétique.  

2.1 Le début des amphithéâtres

Selon Sylvie Duvernoy (2000), l'architecture et la géométrie sont deux sciences qui s'influencent l'une et l'autre. En effet, contrairement à l'idée reçue, l'architecture ne se contente pas de puiser dans les connaissances géométriques afin de trouver des solutions à leurs constructions, mais agit également comme un moteur. L'un des problèmes grecs les plus connus est la trisection de l'angle en utilisant juste une règle et un compas. La trigonométrie n'était pas connue des mathématiciens grecs ; leur principale méthode de résolution était graphique, c'est-à-dire par la construction de figure plane. Vitruvius qui était architecte dans l'antiquité romaine, soutenait la supériorité des dessins par rapport aux calculs dans la recherche de proportion harmonieuse. Ses dessins de théâtre romain sont l'une des premières évidences de la synergie entre géométrie et architecture. Sur le schéma ci-dessous, on observe un théâtre représenté par Vitruvius dont la trisection de l'angle droit est obtenue à la règle et au compas. Le Cavea est ainsi divisé en 6 parties de surface égale. Les trois chiffres rouge sur le schéma montre qu'il s'agit ici de la trisection de l'angle . Hormis quelques exceptions, il a été démontré que la trisection d'un angle quelconque est un problème sans solution à la règle et au compas. Cependant, il aura fallu attendre 2 millénaires afin de pouvoir le démontrer.[pic 1]

 [pic 2]

L'évidence des liens entre la géométrie et le développement de l'architecture s'observe de manière flagrante également dans les amphithéâtres romains. Bien que les Romains possédaient de nombreux bâtiments qui étaient dédiés aux différents types de représentation, tels que les hippodromes de forme sub-rectangulaire ou bien les théâtres de formes circulaires ou ovales. Ces types de bâtiments étaient des vestiges de la culture des grecques anciens. Cependant, l’amphithéâtre est une construction typiquement romaine, lieu qui était destiné aux combats de gladiateurs. Les premiers apparaissent au début du 2ème siècle avant J.C, leurs formes est caractérisées elliptique ou ovale, il s'agit de l'union de deux théâtres en un. Comme nous l'avons vu précédemment, le 3ème siècle avant J.C correspondait à l’apogée des mathématiques dans la Grèce Antique. 

D'un point de vue géographique et historique, il n'est donc pas surprenant qu'à cette période une nouvelle forme architecturale se développe. De plus, il ne faut pas oublier qu'Apollonius a lui travaillé sur les différentes formes de courbe notamment elliptique. Les premiers amphithéâtres étaient principalement des constructions de bois démontable ; c'est pourquoi il est difficile de trouver des sources qui datent exactement les premières constructions. Or, l’amphithéâtre de Pompéi est la première construction fixe à être datée d'environs 70 ans après J.C. Le débat concernant la forme des amphithéâtres à longuement été discutée quant à savoir s'ils étaient de forme elliptique ou ovale composée de plusieurs courbes polycentriques. Les mesures menées sur le site de Pompéi définissent l’amphithéâtre comme elliptique, cette forme aurait été choisi dans un soucis d'offrir aux spectateurs une vue régulière sur toute l’arène. 

Cependant, cette forme aurait posé quelques problèmes aux architectes de l'époque. En effet, 40 portes sont disposées autour du mur du Cavea, de chaque porte des escaliers descendant divisant ainsi le Cavea en parti plus ou moins égale. Or, la méconnaissance des changements de courbes provoquée par la forme elliptique a mené à ce que les escaliers ne terminent pas leurs courses au foyer de l'ellipse, mais à des points disparates de l'arène. C'est ce qui donne à l’amphithéâtre de Pompéi sa forme irrégulière et peu commode.
Par la suite, les architectes romains afin de résoudre ces problèmes techniques utiliseront de préférence une forme pseudo-ellipsoïdale composée de plusieurs arc-de-cercle raccordé.

A travers cet exemple, nous avons pu constater, l'interaction mutuelle entre l'architecture et la géométrie, ces deux branches interagissent simultanément lors de la conception de nouveaux monuments.

2.2 La Villa Emo

Comme le démontre R.Wassel (1998), l'architecture de Palladio permet de refléter l'importance des notions de géométrie, de symétrie et de proportions dans l’architecture italienne de la Renaissance. En effet, pour Palladio la beauté provient de la relation mutuelle entre la part et l'ensemble. Un bâtiment peut être considéré comme le corps humain où chaque membre doit correspondre avec l'autre. D'un point de vue architecturale, Palladio utilise principalement les notions de Vitruvius c'est-à-dire l'utilisation de rapports précis dans l'architecture ceux grâce à des outils géométriques.

La villa Emo (1565) conçu par Palladio nous révèle un système de proportion ingénieux comme le constate Fletcher (2000). Afin d'obtenir un certain esthétisme, Palladio utilise des grandeurs incommensurables. L'utilisation de ses grandeurs auraient pour effet de pouvoir diviser les espaces de manière régulière. Palladio aurait donc volontairement utilisés les rapports de grandeur racine de 2, racine de 3 ou encore le nombre d'or.

Ces grandeurs se retrouvent toutes les trois dans les formes géométriques de base telle que le triangle équilatéral où le rapport entre la hauteur et la moitié de la base vaut 1 : . Le rapport de 1 : se trouve de manière très simple entre l'un des cotés et la diagonale d'un carré. Le nombre d'or se trouve lui dans le rapport entre un des côtés et la diagonale de n'importe qu'elle pentagone régulier ( 1 :  ). Cette méthode de conception spatiale est parfois dénommée la « dynamique de symétrie ».[pic 3][pic 4][pic 5]