Probabilités (rappels)

[pic 1][pic 2]

1 Probabilités (rappels)

Terminologie :

•     Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues aussi appelées éventualités

       possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée.

•     L’ensemble de toutes les éventualités constitue l’univers de tous les possibles, il est noté[pic 3].

• Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements.
• Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires.
• Etant donné un universΩ, l’événement Ω est l’événement certain.
• L’ensemble vide est l’événement impossible.

Exemple :

Le lancer d’un dé à six faces constitue  une expérience aléatoire d’issues xi pour i allant de 1 à 6 et correspondantes à la sortie de la face i du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles.

a. Définitions :

Hypothèses:

• [pic 4] est un ensemble non vide. P ([pic 5]) est l'ensemble des parties de[pic 6].
•  [pic 7] est supposé fini

• On appelle Probabilité sur [pic 8] toute application de P ([pic 9]) dans l'intervalle  [0,1] vérifiant les axiomes suivants:

• Axiome 1: P ([pic 10])=1
• Axiome 2: Pour tout A et tout B appartenant à[pic 11] et si[pic 12], alors          

                                                      [pic 13]

• Pour un événement A quelconque, le complémentaire de A dans [pic 14] est appelé ''événement contraire de A'', on note en général  [pic 15] l'événement contraire de A
• L’événement formé des éventualités communes à A et B est noté[pic 16].
• L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B ou dans les deux est noté[pic 17].
• A et B sont incompatibles si et seulement si [pic 18].

1. Propriétés des probabilités

c. L'équiprobabilité:

L'équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité ceci conduit à alors à écrire:

Pour tout e dans[pic 22], P{e}=[pic 23] où n est le cardinale de [pic 24]

On résume souvent l'équiprobabilité par la formule:

[pic 25]

2. Probabilité conditionnelle, événements indépendants

1. Exemple:

Considérons un lancer de dé ; [pic 26]= {1, 2, 3, 4, 5,6}

Soit l'événement ''le résultat est pair"   A={  ,  ,   }   ; P(A)=

Soit B ''le résultat est supérieure à 4''   B={  ,   ,  }   ; P(B)=

Alors b est réalisé dans deux cas parmi ceux réalisant A, c'est à dire lorsque [pic 27] est réalisé

Ainsi, la probabilité de B sachant que A est réalisé est 2/3 :

[pic 28]

b- Définition:

Soit P  une probabilité sur [pic 29] et soit A un événement de probabilité non nulle.

La probabilité sachant que A (est réalisé) est l'application [pic 30] qui, à tout événement B, associe le nombre :

[pic 31]

[pic 32] Se note aussi [pic 33]

c- propriétés

1. [pic 34]=1
2. pour A et B événements incompatibles:

[pic 35]

d. Événements indépendants:

Définition:

Les événements A et b sont indépendants si et seulement si [pic 36]

Remarque:

Si A et B ont des probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement si

[pic 37]ou [pic 38]

Application

Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement M1, M2 et M3.

La moitié des appareils de son stock provient de M1, un huitième de M2, et trois huitièmes de M3.

Ce grossiste sait que dans son stock, 13% des appareils de la marque M1 sont rouge, que 5% des appareils de la marque M2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M3 le sont aussi.

On donnera les résultats sous forme de fractions.

On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste :

1. Quelle est la probabilité qu'il vienne de M3 ?

2. Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de M2 ?

3. Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ?

4. Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque M1 ?

3. Dénombrement élémentaire:

Pour calculer des probabilités complexe, l'énumération des cas élémentaires est souvent fastidieuse .Pour faciliter la tâche, on utilisera les principes de base de l'analyse combinatoire

a- Principe fondamental

Lorsqu'un événement peut se produire suivant [pic 39] manière, et qu'immédiatement après, un autre événement peut se produire suivant [pic 40] façon, alors les deux événements peuvent se produire dans l'ordre considéré suivant :[pic 41]

Exemple:

S'il y a 3 candidats au poste de député et à celui de maire, les deux fonctions peuvent être occupées de   …………….

1. Permutations:

Une permutation de n objets différents pris r à r est un arrangement de r objets pris parmi n, dans un ordre bien déterminé

On désignera par [pic 42] le nombre de permutations de n objets pris r à r, donné par: [pic 43]

Exemple:

Le nombre de permutations de a , b et c prises deux à deux est:……………….

Les permutations sont:………………………………………………….

1. Combinaisons:

Une combinaison de n objets différents pris r à r est une sélection de r objets parmi n sans ordre déterminé

On désignera par [pic 44] le nombre de combinaisons de n objets pris r à r, ce nombre est donné par:

[pic 45]

4. Probabilité totale:

Considérons une partition [pic 46]de [pic 47]; c à d les [pic 48] sont incompatibles deux à deux et [pic 49]