Devise

PERFORMANCE 3.1 Techniques de régression linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Préliminaires essentiels à la mise en place d’un modèle de régression 3.1.2 Filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Momentum de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Analyse en Composantes Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Bootstrap et ACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Stratégie momentum de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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C ONCLUSION B IBLIOGRAPHIE

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I NTRODUCTION

Covered-call, carry trade, 130/30, CDO, CDO2 , CDO3 , etc. L’imagination des quants et autres ingénieurs financiers a fait explosé le nombre des stratégies d’investissement quantitatives développées ces dernières années, pour certaines faisant le bonheur des banques et des fonds spéculatifs, mais aussi pour d’autres étant à l’origine de certains produits abscons, ayant été à l’origine de la crise financière de 2007-2008. Dans ce cours, nous allons présenter les fondamentaux des stratégies quantitatives pour en comprendre les objectifs et les principales techniques de mise en oeuvre. Nous avons décidé de nous intéresser à trois thèmes qui nous semblent essentiels sur ce sujet et qui balayent un grand nombre de stratégies quantitatives : 1. l’intégration de signaux (quantitatifs ou non) dans la décision d’allocation d’un portefeuille diversifié, 2. la garantie du capital d’un portefeuille actions, 3. et la mise en place de moteurs de performance profitant d’anomalies sur les marchés financiers. Pour chacun de ces thèmes, nous faisons appel à des techniques statistiques et économétriques plus ou moins récentes : l’estimation bayésienne, la statistique des extrêmes, l’analyse en composantes principales, la modélisation auto-régressive, le filtre de Kalman, pour les principales. Les produits dérivés sont aussi largement utilisés. Enfin, une connaissance pointue des enjeux financiers est évidemment requise pour que les stratégies développées soient fondées sur des présupposés cohérents et intelligibles. Une stratégie d’investissement quantitative tente de répondre à des objectifs de gestion pré-définis en faisant appel à des techniques quantitatives, statistiques et économétriques, plus ou moins complexes dans le but de déterminer des allocations de portefeuilles optimales. Un premier exemple pour comprendre les enjeux d’une stratégie quantitative est celui, simple, de la différence entre une stratégie dynamique naïve, laissant son allocation flotter au gré de l’évolution des prix des actifs la composant, et une stratégie d’allocation fixe à tout moment : 1. la première est une stratégie buy-and-hold, 2. et la seconde une stratégie constant mix. Nous nous inspirons de la typologie de Perold et Sharpe développée en 1988 [13] pour présenter ces deux stratégies. Stratégie buy-and-hold Les stratégies buy-and-hold sont des stratégies qui achètent les actifs et laissent leur poids flotter suivant l’évolution de leur valeur. Il n’y a donc pas de rebalancement des poids des actifs dans le portefeuille. Lorsque la valeur de l’actif s’élève, toutes choses égales par ailleurs, sa proportion dans le portefeuille va s’élever aussi. Formellement, notons la valeur du portefeuille Pt pour t ≥ 1 et At la valeur des n actifs le composant en t. Nous avons ainsi :

n

Pt+1 = Pt

i=1

i ωt

Ai t+1 Ai t

i ωt représente le poids alloué à l’actif i en t. Dans une stratégie buy-and-hold, les poids évoluent suivant la valeur relative des actifs, et ont pour expression, pour t ≥ 2 (les premiers poids sont déterminés au départ

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Introduction

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de la stratégie) :

i i ωt = ωt−1

Pt−1 Ai t Pt Ai t−1

Supposons que nous ayons deux actifs, une action et un instrument monétaire sans risque. La valeur du portefeuille de stratégie buy-and-hold a les caractéristiques suivantes : – elle est linéaire par rapport à la valeur de l’action, – elle ne diminuera jamais en-dessous de la valeur initiale investie dans l’instrument monétaire, – elle a un upside potentiel illimité, c’est-à-dire un potentiel de gain illimité. Stratégie constant mix Les stratégies constant mix maintiennent une exposition constante des actifs relativement à la valeur du portefeuille. Les poids n’évoluent donc pas suivant la valeur relative des actifs mais restent fixes. Ainsi, comme les valeurs relatives évoluent, il faut dynamiquement réajuster constamment les proportions investies en valeur dans les actifs pour demeurer à la proportion relative définie au départ. Lorsque la valeur d’un actif diminue, toutes choses égales par ailleurs, la proportion relative de cet actif va diminuer au sein du portefeuille. Il va donc falloir acheter de cet actif pour conserver le même poids au sein du portefeuille. Les poids restent ainsi constants. Pour éviter d’acheter ou de vendre des actifs trop régulièrement et diminuer ainsi les coûts de transaction de la stratégie, il est possible de déterminer des seuils de perte (de gain) en-deçà (au-delà) de laquelle (duquel) on commence à revenir aux poids initiaux. Au-dessus (en-dessous), nous laissons filer les poids comme dans la stratégie buy-and-hold. Supposons à nouveau un portefeuille composé d’une action et d’un taux sans risque. La stratégie constantmix va acheter l’action après que celle-ci a diminué et va la vendre après que celle-ci a augmenté. Cette stratégie s’avère alors profitable lorsque des retournements de marché sont fréquents et qu’une augmentation (baisse) de l’action est suivie immédiatement d’une baisse (augmentation). Autrement dit, l’anticipation du gérant est un marché actions fortement volatil et flat. Perold et Sharpe illustre cette caractéristique à l’aide de l’exemple numérique suivant. Supposons que l’action passe dans un premier temps de 100 à 90, puis dans un second temps revienne à 100, et que le monétaire est supposé constant, pour simplifier les calculs. Dans le cas d’une stratégie buy-and-hold, les poids relatifs au portefeuille ont évolué mais pas la richesse. Dans le cas d’une stratégie constant mix c’est différent (cf. tableau 1). Supposons que nous ayons investi 60% dans l’action et 40% dans l’instrument monétaire. Lors de la baisse de l’action de 100 à 90, la valeur de l’action dans le portefeuille passe de 60 à 54. Son poids diminue donc à 54/94 = 57.4%. C’est le poids de l’action dans la stratégie buy-and-hold. Or dans la stratégie constant mix, nous souhaitons acheter de l’action pour revenir au poids initial de 60%. La valeur correspondante de l’action dans le portefeuille va alors être égale à 60% ∗ 94 = 56.40. Nous vendons de manière symétrique 56.40 − 54 = 2.40 de monétaire : le portefeuille en contient alors 37.60. La hausse de l’action qui va suivre dans le second temps va se révéler profitable à la stratégie constant mix qui vient d’acheter de l’action. En effet, la valeur de l’action dans le portefeuille va passer de 56.40 à 56.40 ∗ 100/90 = 62.67. La valeur du portefeuille est alors égale à 37.60 + 62.67 = 100.27. Contrairement à la stratégie buy-and-hold, qui finit à 100, la stratégie constant mix a fait gagner 0.27. Le positionnement du gérant, contrarian aux évolutions du marché, s’est révélé payant, car l’achat d’action a été suivi immédiatement par une augmentation de sa valeur. Ensuite, il est nécessaire de rebalancer à nouveau les poids, puisque les 62.67 de l’action dans le portefeuille représentent 62.67/100.27 = 62.50% de la richesse du portefeuille, ce qui est supérieur aux 60% fixés. Il va alors falloir vendre de l’action pour 62.67 − 60% ∗ 100.27 = 2.51. Nous avons à la fin de la seconde période un portefeuille composé de 60.16 d’actions et 37.60 + 2.51 = 40.11 de monétaire. Dans le cas où l’action va baisser au cours de la période suivante, ce rebalancement va s’avérer à nouveau profitable.

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Introduction

Date 0 1 2

Action 100 90 100 Action 60 54 60 -

Buy-and-hold Poids Monétaire 60% 40 57.40% 40 60% 40 -

Total 100 94 100 -

Action 60 54 56.40 62.67 60.16

Constant mix Poids Monétaire 60% 40 57.40% 40 60% 37.60 62.50% 37.60 60% 40.11

Total 100