La trompette de Gabriel et flocon de Koch

Comment la trompette de Gabriel et le flocon de Koch illustrent-ils les paradoxes concernant  l’infini en mathématiques ?

Les mathématiques sont un monde à part entière, pouvant refléter et ressembler au monde réel mais ayant des objets qui seraient paradoxaux dans notre monde. C’est le cas de la trompette de Gabriel et le flocon de Koch qui  sont deux figures de la géométrie qui défient notre compréhension intuitive de l'infini. La trompette de Gabriel, avec sa surface infinie mais son volume fini, et le flocon de Koch, avec son périmètre infini mais son aire finie, illustrent des paradoxes fascinants. Ces objets géométriques mettent en lumière les subtilités et les complexités des concepts mathématiques infiniment grands et infiniment petits. Mais comment démontrer les propriétés de ces deux figures ?

La trompette de Gabriel inventée par Evangelista  Torricelli vers 1640  est une figure mathématique ayant la particularité d’avoir une surface infinie et un volume fini. Son nom fait référence à l'Archange Gabriel et la trompette dans laquelle il souffle pour annoncer le jour du jugement dernier.

Pour construire la trompette de Gabriel, il faut commencer par prendre la fonction 1/x, et ne garder que la partie de 1 à +infini, puis effectuer une rotation autour de l’axe des abscisses, on obtient une sorte de trompette qui devient de plus en plus petite.

On va s’intéresser à ce qu’est une intégrale, c’est l’outil qui va permettre de faire la démonstration.

Une intégrale d’une fonction f sur un intervalle I [a, b] est définie comme l’aire algébrique entre la courbe de la fonction et l’axe des abscisses

On calcule cette aire avec

A = F(b) - F(a), avec F une primitive de la fonction f sur I

L’intégrale est une aire dite algébrique car elle peut être négative, comme montré sur le schéma sur le support.

Cependant quand nous appelons l’intégrale « intégrale », mais on devrait plutôt l’appeler l’intégrale de Riemann

Cette intégrale de Riemann est construite en remplissant l’aire sous la courbe par des rectangles de largeur infinitésimales très fins, et d’additionner leurs aire.L’avantage des rectangles est que c’est facile à calculer largeur*longeur. On appelle ce calcul la somme de Riemann où pour un segment a,b d’une courbe on subdivise cette intervalle (x1,….,xn)  la somme de i=1 jusqu’à n est (xi-xi-1)*f(ti) où ti appartient à (xi-1,xi) et lorsqu’on fait tendre n vers l’infini on obtient l’intégrale :donc chaque rectangle aura une longueur f(x) et largeur dx= (xn-x1)/n , et si on en additionne une infinité, on a une valeur exacte de A. On a  alors le S de l’intégrale qui fait référence à une somme et f(x)dx qui est l’air d’un rectangle infinitésimale.

Application trompette de Gabriel

Volume : Pour calculer le volume de la trompette de Gabriel nous n'allons pas additionner des rectangles, mais des cylindres infiniment fin, car lorsqu’on fait tourner un rectangle autour de l’axe des abscisses on obtient justement un cylindre.

On a donc l’intégrale de 1 à +infini de pi * 1/x^2 dx car  le volume d’un cylindre=pi*r^2*épaisseur,en résolvant cette intégrale on a un volume pi.

Aire : Pour la surface, nous devons utiliser une section de cône car la forme d’un cylindre ne convient pas pour la surface de la trompette.

On obtient une intégrale plus complexe que l’on peut minorer grâce à la positivité de l’intégrale par l’intégrale de 1 à +inf de 2*pi*1/x  car la racine est + grande que 1 cette intégrale tend vers + l’inf  car x est compris entre 1 et + l’infini , donc par le théorème de comparaison  la surface est infinie.

Pour essayer de comprendre ce paradoxe de façon concrète on peut s’intéresser au paradoxe du peintre car si une telle figure existe alors on aurait besoins d’une quantité finie de liquide pour remplir la trompette, mais d’une quantité infinie pour en peindre la surface que ce soit de l’intérieur ou l’extérieur, car la surface est la même que ce soit de l’intérieur ou de l’extérieur. Au bout d'un moment la section par laquelle doit passer la peinture est plus petite que les particules qui la compose. On arriverait donc la remplir la trompette avec une quantité finie de peinture. En revanche, il faudrait une quantité infinie de peinture pour peindre l’extérieur de la trompette.