Mémoire, théorie des modèles

THEORIE DES MODELES , APPLICATION A L’ALGEBRE :

v´erification du th´eor`eme d’Ax par les ferm´es de Zariski .

Table  des  mati`eres

1. RAPPELS SUR LES CORPS

ALGEBRIQUEMENT CLOS        3

1. LA LOGIQUE DU PREMIER ORDRE

DANS LE LANGAGE  DES ANNEAUX        4

1. VERIFICATION DU THEOREME D’AX

PAR  LES  FERMES DE ZARISKI        5

1. Cot´e logique         6
2. Cot´e Alg´ebre : cas ou` R est un corps localement fini         9
3. D´emonstration g´en´erale :         10

R´ef´erences

1. S. LANG : ALGEBRE, ´edition Dunod.

1. E. BOUSCAREN : INTRODUCTION A LA THEORIE DES MODELES, http ://www.math.polytechnique.fr.

On dira qu’une partie V d’un anneau R v´erifie le th´eor`eme d’Ax ssi :

” Toute  application polynomiale f de V n dans  V n, n        1, qui est injective , est surjective .”[pic 1]

f est donc de la forme f (x1, ..., xn) = (f1(x1, ..., xn), ..., fn(x1, ..., xn)) , avec pour chaque i , fi ∈ V [X1, ..., Xn].

Dans  l’article  qui  a  ´et´e  propos´e  ,  Elisabeth  Bouscaren  nous  prouve  que  le th´eor`eme  d’Ax  est  v´erifi´ee  par  l’anneau  tout  entier  R =  C .  Pour  cela  ,  elle applique un th´eor`eme de la th´eorie des mod`eles dit ”de transfert” ... d’une propri´et´e d’une classe de corps `a une autre.

Th´eor`eme  de  transfert  :

” Si une propri´et´e qui s’exprime par un ´enonc´e du premier ordre est vraie dans la cloture alg´ebrique des Fp , pour tout p premier , elle est vraie dans C. ”

On  a  cherch´e  ici  `a  d´emontrer  que  le  th´eor`eme  d’Ax  est  v´erifi´e  par  les  ferm´es de Zariski , ensembles de la forme V = {a ∈ Ck : P1(a) = ... = Pm(a) = 0},

ou` P1, ..., Pm ∈ C[X1, ..., Xk] .

Notations importantes :

Pour z ∈ Rk , on notera ” z ” l’´ecriture formelle ” z1, ..., zk ” .[pic 2]

” ∀z ” (respectivement ” ∃z ”) signifiera ” ∀z1...∀zk ” (respectivement ” ∃z1...∃zk ” ) .[pic 3][pic 4]

Si x        (Rk)n  , on notera , par commodit´e , ” x ” pour ” (x) ” , c’est `a dire ” x1, ..., xn ” .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

1. RAPPELS SUR LES CORPS ALGEBRIQUEMENT CLOS

[1]

D´eftnition  1  K est un corps localement fini   ssi  tout sous-corps de K finiment engendr´e est fini.

D´eftnition  2  L  est  une  extension  d’un  corps  K    ssi  L  est  un  corps  tel  qu’  il existe j : K        L homomorphisme de corps[pic 10]

ssi L est un surcorps de K `a isomorphisme pr`es.

D´eftnition  3  L  est  un  corps  al´ebriquement  clos    ssi   tout  polynome  de  L[X]

non constant admet au moins une racine dans L.

D´eftnition  4  L est une cloture alg´ebrique d’un corps K   ssi   L est

une extension de K alg´ebriquement close , et tout ´el´ement de L est racine d’un polynome `a coeffitients dans K.

Proposition 1 (admise)[pic 11]

[pic 12][pic 13]

Pour  p  premier  ,  Fp =        n  N Fpn!   ,  ou`  Fp est  la  clˆoture  alg`ebrique  du  corps fini Fp .

Proposition  2  La clˆoture alg´ebrique d’un corps fini Fp , p premier , est localement finie .

D´emonstration

[pic 14]

Soit x1, ..., xk ´el´ements de Fp.

Pour tout i = 1, ..., k , xi ∈ < x1, ..., xk > , sous-corps de engendr´e par x1, ..., xn . D’apr`es la proposition 1 , il existe n ∈ N t.q : {x1, ..., xk} ⊂ Fpn!  .

En effet , si m divise n , Fpm ⊂ Fpn .

On a donc : < x1, ..., xk >⊂ Fpn! , qui est un corps fini .

Ainsi , la clˆoture alg´ebrique des Fp , p premier , est localement finie .

1. LA LOGIQUE DU PREMIER ORDRE DANS LE LANGAGE DES ANNEAUX

Soit  R  un  anneau  commutatif  unitaire.  On  d´efinit  l’ensembble        n  N Fn  des formules du premier ordre du langage des anneaux par induction .[pic 15]

F0 est l’ensemble des formules dˆıtes ” basiques ” , de la forme

P (x1, ..., xn) = Q(x1, ..., xn) , ou` P et Q sont des polynomes de Z[X1, ..., Xn], n ≥ 1 .

Fn+1 se d´efinit en formant les conjonctions , disjonctions , et n´egations ftnies , des ´el´ements de Fn , ainsi que leurs quantifications universelles et existentielles sur des ´el´ements de R en nombre ftni , ce que l’on notera , pour des formules ϕ et ψ de Fn , et pour x ´el´ement de R , respectivement par :

ϕ        ψ , ϕ        ψ , ¬ϕ , ∀xϕ , ∃xϕ .[pic 16]