Équations

lorsque je remplace l’inconnue x par 4 dans l’équation, l’égalité est vérifiée : 3×4−7 = 12−7 = 5 2 n’est pas une solution de l’équation 3x − 7 = 5 car, lorsque je remplace x par 2, l’égalité n’est pas vérifiée : 3 × 2 − 7 = 6 − 7 = −1 = 5 ! !

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Règles de manipulation des égalités : Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition : Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l’équation. Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une équation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l’équation par un même nombre non nul. Nous traiterons ici des équations du premier degré à une inconnue x (ou s’y ramenant). Ce sont des équations qui, après ces transformations autorisées, peuvent s’écrire sous la forme ax = b, avec a = 0. b Cette équation a alors une unique solution, qui est a . Par exemple, l’équation 3x − 5 = 7 est une équation du premier degré : résolvons-la En utilisant la règle 1, on voit que l’on peut ajouter 5 aux deux membres de l’équation : 3x − 5+5 = 7+5, c’est-à-dire 3x = 12. En utilisant la règle 2, on voit que l’on peut diviser par 3 chaque membre de l’équation : 3x 12 = , c’est à dire x = 4. 3 3 on conclut par une phrase : l’équation 3x − 7 = 5 admet une unique solution, qui est 4.

2 Equations-produits

Définition : Une équation-produit est une équation qui s’écrit sous la forme (ax + b)(cx + d ) = 0 (il peut y avoir plus de deux facteurs) Remarque : cette équation (ax +b)(cx +d ) = 0 est une équation du second degré ; en effet, si on développait le membre de gauche, l’inconnue x apparaîtrait avec une puissance 2. Prenons par exemple l’équation (x + 1)(3x − 6) = 0 ; si on développe le membre de gauche, on aboutit à l’équation 3x 2 − 3x − 6 = 0. Mais nous ne savons pas encore, en Troisième, résoudre ce type d’équation... Comment faire ? Propriété : Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. Autrement dit, dire que "A × B = 0" équivaut à dire que "A = 0 ou B = 0". Méthode : Ainsi, le produit (ax + b)(cx + d ) sera nul si, et seulement si, l’un des facteurs ((ax + b) ou (cx + d )) est nul : (ax + b)(c x + d ) = 0 si et seulement si ax + b = 0 ou c x + d = 0. On se ramène ainsi à la résolution de deux équations du premier degré ! ! Propriété : Les solutions de l’équation (ax +b)(cx +d ) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax +b = 0 et cx + d = 0 Par exemple : résolvons l’équation (3x − 7)(2x + 5) = 0 Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l’un des facteurs est nul. 3x − 7 = 0 ou 2x + 5 = 0 3x = 7 ou 2x = −5 7 ou x = − 5 x=3 2 Ainsi, l’équation (3x − 7)(2x + 5) = 0 admet deux solutions, qui sont 7 et − 5 3 2

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3 Inéquations du premier degré

Définitions : Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l’inéquation. Une solution de cette inéquation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’inégalité est vraie. Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions. Par exemple 3x − 7 > 5 est une inéquation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe >) est 3x − 7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe >, donc) est 5. 6 est une solution de l’inéquation 3x − 7 > 5 car, lorsque je remplace l’inconnue x par 6 dans l’inéquation, l’inégalité est vérifiée : 3 × 6 − 7 = 18 − 7 = 11 > 5 10 est une autre solution de l’inéquation 3x − 7 > 5 car, lorsque je remplace l’inconnue x par 10 dans l’inéquation, l’inégalité est vérifiée : 3 × 10 − 7 = 30 − 7 = 23 > 5 2 n’est pas une solution de l’inéquation 3x − 7 > 5 car, lorsque je remplace x par 2, l’inégalité n’est pas vérifiée : 3 × 2 − 7 = 6 − 7 = −1 ≯ 5 ! ! Règles de manipulation des inégalités : Pour résoudre une inéquation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s’assurant que la nouvelle inéquation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l’inéquation initiale. Pour ce faire, nous avons trois règles à notre disposition : Règle n°1 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l’inéquation. Règle n°2 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement positif. Règle n°3 : On ne change pas l’ensemble des solutions d’une inéquation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l’inéquation par un même nombre strictement négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité. Par exemple, l’inéquation 3x −