Préface aux nouveaux essais sur l'entendement humain, Leibniz

L’ouvrage « Préface aux Nouveaux essais sur l’entendement humain » a été écrit par Leibniz du vrai nom Gottfried Wilhelm Leibniz qui était un philosophe, mathématicien, logien, diplomate et juriste du XVII -ème siècle de nationalité allemande. Leibniz est née à Leipzig en 1646 et est mort à l’âge de 70 ans le 14 novembre 1716 à Hanovre. Dans ce texte Leibniz prétend élucider le rapport qu’entretiennent la démonstration géométrique et la figure. Quand je trace un triangle et que je démontre géométriquement, en prolongeant deux de ses côtés et en faisant passer par son sommet une parallèle à la base, que la somme de ses angles est égale à deux angles droits, je ne l’ai après tout démontré que pour ce triangle, que j’ai dessiné devant moi. Comment puis-je alors prétendre que cette proposition est vraie pour tous les triangles, quels qu’il soient ? Est-ce à force de remarquer qu’elle est vérifiée pour ce triangle particulier, puis cet autre, puis encore cet autre, que j’en infère progressivement une « certitude générale » touchant tous les triangles ?

Pour élucider ce problème, Leibniz commence par rappeler quelle est la seule méthode pour produire des démonstrations rigoureuses : pour que la démonstration soit certaine, il faut qu’elle ait été faite avec rigueur, et toute cette rigueur consiste en une simple règle, à savoir la vérification de chaque étape du raisonnement et la vérification de son enchainement avec l’étape suivante. Mais alors quand on affirme qu’une accumulation de démonstrations particulières produit une certitude générale, on déroge précisément à cette règle : « si la somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits » est une proposition universelle, alors nous ne sommes pas parvenus à cette universalité par inférence de cas particuliers. Une telle inférence ne saurait au mieux fournir une généralité vague : ce n’est pas en additionnant des riens que l’on obtient quelque chose, ce n’est pas en additionnant des cas particuliers que l’on obtient de l’universel. Alors la figure dessinée n’est pas qu’une illustration servant de béquille a l’attention, et non le point de départ de la démonstration : comme toute démonstration rigoureuse, la géométrie procède par axiomes et définitions, dont elle déduit ensuite tout ce qu’on en peu déduire. A l’évidence, Leibniz entend faire pièce ici à la thèse empiriste, et plus particulièrement à celle de Locke dans ses Essais sur l’entendement humain : si toute notre connaissance était issue des perceptions sensibles, alors les sciences parvenant à des propositions universelles seraient impossible. Sans doute alors nous faudra-t-il expliquer la these de Locke afin de comprendre ce que Leibniz veut dire.

1. Analyse détaillée du texte.

1. Toute démonstration doit se soumettre à une règle de rigueur.

1. Un raisonnement procède par étapes successive.

Notre texte s’ouvre par une question : à quelles conditions une démonstration peut-elle être tenue pour rigoureuse et ainsi emporter la « certitude » dans notre esprit ? Car enfin de telle démonstration existent : il existe ainsi depuis Euclide des « éléments de géométrie » et depuis Aristote des livres de logique traitant des syllogismes concluants. Que ces démonstrations soient rigoureuses, preuve en ai que le lecteur peut lui-même s’en convaincre en suivant le raisonnement écrit par un autre que lui puis en le refaisant à son tour : ainsi, non seulement les hommes ont effectivement « des démonstrations rigoureuses sur le papier », mais ils en ont même « sans doute un infinité » puisque chacun peut redémontrer, des ses propres forces, le théorème de Thalès ou celui de Pythagore. Toutefois, il ne suffit pas que la démonstration écrite soit rigoureuse pour que son résultat apparaisse certain a l’esprit qui l’examine, et voilà tout le problème. Toute ouvre de langage en effet est discursives et se déploie dans l’élément du discours, c’est-à-dire dans une parole qui passe des étapes. Cela est vrai d’une péroraison, d’un sermon, d’une dissertation même, qui doivent comporter des parties. Cela est vrai également pour la géométrie, si tant est que la mathématique, langage purement formel, demeure un langage tout de même. En d’autres termes, il y a dans tout raisonnement des étapes, y compris dans les raisonnements de la géométrie. Le risque alors de toute déduction, au reste déjà identifié par Descartes, c’est de sauter une étape ou d’oublier un résultat précédent en passant a l’étapes suivante et de parvenir ainsi à des conclusions incertaines, voire tout simplement fausses. Dans les cas d’un raisonnement écrit, il est simple de vérifier la cohérence globale de l’enchainement, parce que l’écriture nous présente toutes les étapes en même temps : on peut ainsi toujours remonter plus haut dans l’ordre des raisons, reprendre la déduction à l’envers, la refaire autant de fois qu’il le faut pour en éprouver la validité et ainsi en parvenir à la certitude. Mais lorsque nous dameront au sein de nos idées, quand a autre terme la démonstration n’est qu’un pur objet de l’esprit pour lui-même, sans avoir été pour ainsi dire extériorisé sur une feuille, alors une étape chasse l’autre, et il est facile de commettre une erreur en oubliant un résultat : l’écriture de la démonstration aide l’esprit à se souvenir de sa propre rigueur, rigueur sans laquelle il ne saurait parvenir à la certitude.