Eviter l'Impact

n1. a) Précisez pour l’astéroïde le périgée, l’apogée, sa vitesse au moment de couper l’orbite terrestre, sa vitesse au périgée.

rA=a1+ⅇ=238.106*1+0,42=338.106km

rP=a1-e=238.106*1-0,42=138.106km

Energie mécanique : Em=-k2a=-GMS2a=-6,67.10-20*2.10302*238.106=-278 km2s-2

= 12v²-GMSr

On en déduit : v=Em+μsrT×2=34,83 km/s

Avec rT=150.106km et μs=GMS=13,27.1010km3s-2

De la même manière, on calcule vP=Em+μsrP×2=36,97 km/s

b) Donner l’angle sous lequel se coupent les trajectoires astéroïde et Terre. En déduire la vitesse relative de percussion éventuelle.

On utilise la loi des aires : vprp=vrTcosα d’où cosα=vprpvrT

et α=ArccosvprpvrT=12,43°

Par le triangle des vitesses, on obtient : vR=8,27 km/s

2. Principe du remorquage :

La manœuvre pour éviter la collision avec la Terre consiste à décaler l’heure du choc, soit en augmentant soit en diminuant très légèrement, très longtemps à l’avance, la vitesse (par exemple au périgée, puisque c’est là que la manœuvre est la plus efficace), de façon à obtenir un écart de temps Dt sur n révolutions.

a) Le moteur du remorqueur va donc pousser dans le sens de la vitesse durant un temps Tm dans le sens de la vitesse instantanée, pour une puissance maximale, avec une force constante F pour obtenir une variation de vitesse ΔV, une variation de période ΔT, et un retard ou une avance Δt. Sans trop raffiner les calculs, on admettre qu’au voisinage du périgée, durant la poussée, la vitesse reste constante.

Un article de Pour la science n°319 de Mai 2004 affirme qu’une poussée de 2,5N, pendant 93 jours, peut changer la vitesse de 0,2cm/s.

Calculer la masse M de l’astéroïde. Donner l’accélération G. Vérifier qu’en 93 jours l’incrément de vitesse est bien de 0,2cm/s.

L’astéroïde est assimilé à une boule : V=43πR3=43π*2003=33,5.106m3

D’où MA=3000*V=100.108 kg

On a G=FMA=2,5100.108=2,49.10-10ms-2

Or, dvdt=G=FMA d’où dv=Gdt et donc Δv=GTm=2,49.10-10*93864=2.10-3ms-1

b) Calculer l’écart de période orbitale consécutif à une variation de vitesse de 0,2 cm/s.

Em= 12v²-μsr=-μs2a donc ΔEm=vΔv=μs2a2Δa

De plus, T²a3=4π²μs donc 2ΔTT=3Δaa d’où ΔT=3T2aΔa

ΔT=3aTμs= 3*238.109*6,3.10713,27.1019*37.103*0,02=25 s

Avec Δv=0,02 m/s

μs=13,27.1010km3s-2

vP=37.103 m/s

T=2 ans=6,3.107s

a=238.109 m

c) Si on admet que le « tracking » du danger a été précis, on peut admettre que tout danger est écarté si le bolide passe à 2 rayons terrestres de la Terre. Ce qui revient au même que de dire que quand l’astéroïde coupe la trajectoire de la Terre, celle-ci se trouve à 1 rayon terrestre.

Déduire le temps que met la Terre pour parcourir cette distance. Ce temps est Δt.

Avec un début d’action 10 ans à l’avance, déterminer l’incrément de vitesse nécessaire.

La vitesse de la Terre est : vT=30 km/s.