Le Nombre Au Cycle 2

age d'un code à l'autre et de la manipulation des nombres transcrits en chiffres, la compréhension de la numération de position et sa mobilisation dans la résolution de problème fera l'objet d'un travail jusqu'en CE2.

La deuxième difficulté à trait au passage des transformations aux opérations : le fait que les élèves comprennent précocement les effets de transformations de quantités (ajout, retrait, partage...) n'impliquent pas qu'ils comprennent le sens des opérations. En effet, l'accès aux opérations requiert de nombreuses rencontres avec des situations mobilisant chacune des opérations. C'est en variant les situations que l'enfant peut être amené à découvrir le sens des opérations élémentaires et à en généraliser l'utilisation en s'éloignant d'une conception immature qui associe de manière sommaire des transformations (ajout) à des opérations (addition).

Partie 1 : dialectique entre sens et techniques, l'exemple du calcul mental

Relations entre maîtrise de techniques de calcul, connaissances sur les nombres et les opérations, et résolution de problèmes arithmétiques

Cette partie s'intéresse à la question du lien entre sens et techniques et plus particulièrement à l'enseignement du calcul mental.

Le calcul mental est un champ d'expérience riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres et aux opérations. En effet, l'acquisition des connaissances sur les nombres et les opérations et la maîtrise des techniques de calcul mental se développent dialectiquement. De plus, le calcul mental améliore les performances des élèves à la résolution de problèmes.

Le paradoxe de l'automatisme

Il convient de distinguer :

-procédure automatisée : procédure restituée par l'élève pour effectuer un calcul sans que celui-ci ne la reconstruise

-automatisme : soit un recours à un ensemble de procédures automatisées installées en mémoire soit une mobilisation quasi systématique d'un seul type de procédure quelles que soient les données numériques.

Exemples de procédures pour calculer 45 + 17 :

-l'élève pose l'opération dans sa tête en colonnes

-décomposition additive canonique de l'un ou des deux termes : 45 + 10 + 7 = 55 + 7 = 62

-décomposition additive à la dizaine supérieure d'un des deux termes : 45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 + 12 = 62

-utilisation d'une décomposition soustractive d'un des termes : 45 + 20 – 3 = 65 – 3 = 62

Analyse de ces procédures :

-l'opération posée dans sa tête : elle rassure les élèves car elle fonctionne dans tous les cas (elle n'est pas liée à la nature des nombres en jeu). Toutefois, elle est extrêmement coûteuse car elle nécessite la mémorisation de beaucoup de données.

-décomposition additive canonique : elle nécessite de connaître les décompositions souvent fréquentées. Elle reste donc coûteuse

-décomposition additive et soustractive : elles réduisent le coût en mémoire et calculs mais nécessitent la disponibilité de décomposition moins fréquentées et sont très liées aux nombres en jeu. Elles sont donc plus adaptées. Cette donc vers ces deux procédures qu'il s'agit d'amener les élèves. Pour cela, il faut dispenser un enseignement spécifique du calcul mental.

Sans un tel enseignement spécifique visant une meilleure adaptabilité des élèves, deux dynamiques peuvent s'initialiser dans la classe et creuser des écarts :

l'élève possède au départ suffisamment de connaissances sur les décompositions des nombres : lors des calculs, il va explorer les propriétés des nombres et des opérations. Cela va enrichir ses connaissances numériques qui vont être plus disponibles ce qui va accroître ses possibilités. Cette dynamique est productrice d'apprentissages

l'élève a des connaissances limitées : il va se réfugier dans des procédures plus sûres (poser dans sa tête) mais plus coûteuses conduisant souvent à l'échec. Cela limite la richesse des expériences de calcul et donc la possibilité pour l'élève de développer de nouvelles connaissances.

Conclusion : un défaut de prérequis peu limiter de façon importante les bénéfices du calcul mental quotidien.

Souvent les procédures ne sont pas adaptées au calcul car :

-l'élève n'est pas assez familiariser avec les propriétés des nombres

-l'élève n'a pas automatisé assez de procédures

Il s'agit donc pour l'enseignant de proposer un travail spécifique visant l'automatisation d'un grand nombre de procédures.

D'où le paradoxe du calcul mental : un manque de procédures automatisés implique le renforcement néfaste des automatismes (comportement automatisé non adapté)

Le calcul mental permet donc d'accroître les performances des élèves en enrichissant leurs connaissances numériques et en installant de nouveaux faits numériques. Il doit être complété par des moments d'institutionnalisation durant lesquels le maître explicite les procédures mobilisées et les hiérarchise. L'institutionnalisation de certaines procédures porte sur leur économie et leur domaine d'efficacité. Ces moments permettent à l'élève de prendre conscience de l'éventail et de la hiérarchie des procédures mise en œuvre dans la classe.

Rapports entre maîtrise de techniques opératoires et résolution de problèmes standards

Les recherches ont montré que la pratique régulière du calcul mental (qui améliore les habiletés calculatoires des élèves) favorise une accélération du processus de reconnaissance de l'opération en jeu dans des problèmes standards c'est-à-dire familiers aux élèves (additifs, multiplicatifs simple).

Un entraînement au calcul mental, en allégeant les tâches de calcul, favorise une prise de sens lors de la résolution de problèmes et contribue à accélérer l'automatisation de la reconnaissance de l'opération en jeu. Les automatismes installés dans les séances de calcul mental permettent aux élèves de construire des schémas de problèmes : l'élève construit une mémoire des problèmes auxquels il associe les procédures de résolution. Cette mémoire s'organise grâce à une catégorisation et à un recours à des problèmes prototypiques représentatifs de chaque catégorie.

Quelques pistes en calcul mental et en numération : des passages incontournables

calcul mental

En début de cycle 2, avant de proposer des activités qui relèvent du calcul, les élèves doivent être entraînés à :

des activités de « pure » mémorisation de nombres présentés sous différentes formes (mot-nombre ou écrit en chiffres). Par exemple, on montre quelques secondes des nombres et l'élève les réécrit ensuite

des activités pour mémoriser et traiter des données. Par exemple, restituer des nombres sous une désignation différente de celle utilisée pour les présenter ou en les restituant dans un ordre donné ou en leur faisant subir des transformations

Les activités de calcul mental se présentent sous deux formes différentes selon l’objectif visé :

calcul mental quotidien pendant 10 à 15 minutes : l’enseignant valide les calculs et corrige les erreurs rapidement. Le but est d’entraîner les élèves en les confrontant à des exemples variés afin d’accroître leurs performances

une fois par semaine pendant 30 minutes : explication et comparaison des différentes procédures mobilisées par les élèves afin de les hiérarchiser. L’enseignant met en regard l’économie de certaines procédures et les propriétés des nombres

Exemples d’activités sur l’addition et la soustraction :

explorer, mémoriser et tester les tables d’additions : les résultats des tables d’addition deviendront progressivement des faits numériques automatisés. Deux types d’activités permettent d’explorer et mémoriser ces faits numériques : les jeux de calcul mental utilisant différents supports : jeux de cartes, dominos, lotos… et d’autres activités de mémorisation telles que la recherche de la somme (8+7) ou de l’un des deux termes (9+ ? = 14).

recherche de compléments à 10, 100, 1000 : très tôt, l’élève doit connaître les 5 paires de nombres non nuls dont la somme est 10. Les différentes représentations des nombres (doits, constellations) contribuent à leur mémorisation. Pour rendre disponibles ces décompositions, on joue sur la formulation des consignes. Par exemple : complète 3 pour faire 10 ; combien manque-t-il à 3 pour faire 10 ; que faut-il ajouter à 3 pour faire