Precompacité D'Ascoli

. Comme X est compact, on peut en extraire un recouvrement fini de la forme (B(xi ,ε))i 1 n où les xi sont des éléments de X. On a ainsi prouvé l’existence d’un ε-réseau. D’autre part, on sait que tout espace métrique compact est complet. – Supposons X précompact et complet. Supposons de plus que X n’est pas compact. Soit la suite de réels (εn )n IN choisie en sorte qu’elle soit convergente vers 0. Comme X est précompact, il existe un ε0 -réseau de X: xi ; i 1 n . Comme X n’est pas compact, on peut trouver un recouvrement ouvert de X : Un n IN tel qu’aucune sous famille finie de ce recouvrement ne recouvre X. En particulier, il existe une boule B0 =B(xi ,ε0 ) (où xi est un élément du ε0 -réseau) telle qu’aucune sous famille fini de Un n IN ne la recouvre. On recommence le même raisonnement au sein du sous espace précompact B0 =B(xi ,ε0 ). On choisit un ε1 -réseau ym . Ceci nous permet de construire une boule B1 =B(yk ,ε1 ) où de B0 : y1 yk est un élément du ε1 -réseau. La boule B1 est telle qu’aucune sous famille de Un n IN ne la recouvre. On construit par récurrence et par cette méthode une suite décroissante de boules fermées Bn n IN telle que Bi a pour rayon εi . Aucune sous famille finie de Un n IN ne recouvre un élément Bi de cette suite. Par contre, comme Bn n IN est une suite de sous ensemble de X dont le diamètre ( diamètre de Bk =εk ) tend vers 0 et que X est complet, il existe un élément x de X tel que Bi x . x étant élément de X et Un n IN étant une famille dont

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la réunion est égale à X, il existe un élément Ui de Un n IN tel que x Ui . Mais Ui est un ouvert de X. On peut donc trouver un réel strictement positif ε tel que B xε Ui . Mais comme x est élément de chaque Bk pour k IN et que εn n IN tend vers 0, on peut trouver une boule Bk de rayon suffisemment petit en sorte qu’elle soit toute entière contenue dans B x ε . Cette boule Bk est tout entière 2

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Mais ceci implique que Y

B xi ε , cqfd.

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Y

B xi ε

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un ε réseau de Y. On peut donc écrire: Y

B xi ε et donc

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0. Soit xi ; i



– Montrons que (Y ,d) est précompact si (Y,d) l’est. Soit ε

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dans Ui et est par conséquent recouvrable par une sous famille finie de Un n IN . Ceci est en contradiction avec ce que nous connaissons de Bn n IN et prouve que notre hypothèse de départ est fausse. Ainsi X est compact.

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Ajoutons la définition suivante: Définition On dira qu’un sous espace A d’un espace topologique (Z, ) est relativement compact (pour la topologie induite) si son adhérence est compact.

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3 Théorème d’Ascoli

On considère dans cette section deux espaces métriques (X,d) et (Y,δ). Nous allons travailler sur l’espace (X,Y) des applications continues de X dans Y. Nous allons supposer que (X,d) est un espace métrique compact. Ainsi on pourra munir (X,Y) de la topologie de la convergence uniforme. On notera, comme d’habitude, si f et g sont des éléments de (X,Y), f g supδ f x g x . Rappelons aussi que si (Y,δ) est

x X

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complet alors il en est de même de (X,Y). Définition Soit A une partie de (X,Y). On dira que A est équicontinue sur X si

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0; f

A xy

X; d x y

η

δ f x f y

ε

On remarque que l’équicontinuité est une généralisation de l’uniforme continuité. Théorème d’Ascoli Soit A une partie de (X,Y). On a équivalence entre: – A est équicontinue sur X. – A est relativement compact dans (X,Y) muni de la topologie de la convergence uniforme.

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Démonstration – Supposons que A est relativement compact. Montrons que A est équicontinue. Choisissons un réel ε>0. Comme A est compact, on peut trouver une famille

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