Cours complet de prs

mouvement si sa position, dans le référentiel considéré, change au cours du temps.

Repère spatial : Un repère d’espace orthonormé (0,i , j, k )

r r r

permet de situer un point quelconque M

de l’espace à un instant donné par le vecteur position OM xi yj zk

r r r

= + + , ou encore par ses

coordonnées (x, y, z). Les coordonnées dépendent donc du repère choisi, qu’il convient de bien

préciser. Ces coordonnées varient au cours du temps quand le point est en mouvement (x(t), y(t),

z(t)).

Repère temporel : Etudier le mouvement d’un corps nécessite aussi de savoir à quel moment il

occupe les différentes positions. Un repère de date, ou échelle de temps, permet de situer dans le

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X

Y

A

B

temps, c’est-à-dire de dater un événement par rapport à un événement origine auquel on attribue la

date origine ti=0. Par exemple, lors d’un sprint, on décide que le signal de départ correspond à la

date ti=0.

Trajectoire : La trajectoire d’un point mobile M est l’ensemble des positions successivement

occupées par ce point au cours du temps. On distingue les trajectoires rectilignes, circulaires,

curvilignes…

La trajectoire d’un sprint lors d’un 100 m est rectiligne. Il suffira donc d’un repère à 1 seul axe pour

décrire le mouvement. Celle d’une course plus longue étant curviligne (la piste), le centre de masse

se déplace dans un plan, il faudra donc 2 axes (2D). D’autres mouvements nécessitent l’utilisation

de repères 3D.

⇒ L’ETUDE DU MOUVEMENT D’UN POINT MOBILE NECESSITE L’UTILISATION D’UN REPERE

TEMPOREL, ET D’UN REPERE SPATIAL A 1D, 2D OU 3D SELON LE MOUVEMENT ETUDIE

(SOIT 1, 2 OU 3 AXES).

Position / Distance : la position se définit par rapport à une origine 0, alors qu’une distance est une

différence de position (un scalaire) : la distance est indépendante du repère choisi.

Déplacement : c’est un changement de position, par exemple entre

A et B qui est exprimé de façon vectorielle AB

4. Vitesse moyenne, vitesse instantanée

Vitesse moyenne :

Entre deux dates t1 et t2, un corps se déplace entre la position X1 et X2.

Sa vitesse moyenne V X (suivant l’axe des X) est donnée par :

t

X

t t

V X X X Δ

Δ

=

−

−

=

2 1

2 1

Si l’unité de position est le mètre, et celle du temps la seconde, la vitesse s’exprime en m/s. C’est

l’unité de la vitesse dans le système international (S.I)

Détermination graphique de la vitesse moyenne :

La vitesse moyenne sur [t1 ; t2] correspond à la pente de la droite qui relie P1

et P2

Vitesse instantanée :

On parle de vitesse instantanée quand la vitesse est calculée sur un intervalle très petit par rapport à

la durée du phénomène étudié. Le petit intervalle est assimilé à un point temporel.

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2 1 0

2 1

2 1

X t - t petit encadrant t

t t

X X

dt

V dX avec

−

−

= =

Détermination graphique de la vitesse instantanée :

La vitesse instantanée est la pente de la tangente à la courbe X(t) au point considéré

Attention : comme la position est mesurée dans un repère orienté, la vitesse instantanée est mesurée

algébriquement : elle est alors positive si le corps se déplace dans le sens positif choisi (le corps

avance), négative dans le cas contraire (le corps recule).

5. Accélération moyenne, accélération instantanée

Le principe de calcul de l’accélération à partir de la vitesse est exactement le même que celui de la

vitesse à partir de la position.

L’accélération quantifie la variation de vitesse au cours du temps.

Accélération moyenne :

L’accélération moyenne suivant un axe donné est la variation de la vitesse suivant cet axe par

rapport au temps écoulé. Si entre deux dates t1 et t2, la vitesse d’un corps varie de VX1 à VX2, alors :

t

V

t t

V V

a X X X

x Δ

Δ

=

−

−

=

2 1

2 1 en m/s² ou en m.s-2

Attention : les vitesses doivent être exprimées en m/s.

Accélération instantanée :

2 1

2 1

0 ( )

t t

V V

dt

a t dVX X X

X −

−

= = , où t2-t1 très petit et encadrant t0.

6. Deux grands types de mouvements

Mouvement uniformément accéléré : le mouvement est rectiligne et l’accélération est constante.

• Si l’accélération est positive : la vitesse augmente

• Si l’accélération est négative : la vitesse diminue

Mouvement uniforme : le mouvement est rectiligne et la vitesse est constante

C’est un cas particulier du mouvement uniformément accéléré, avec une accélération nulle.

• Si la vitesse est positive, le mobile avance

• Si la vitesse est négative, le mobile recule

Oubliez : V = D / t ; c’est faux, car pas assez général…

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7. Les équations horaires du mouvement rectiligne (axe X)

Conditions initiales : à t=0, on connaît Xi et Vi

a) Mouvement rectiligne uniformément accéléré ( a >0 ou a 0) Mouvement rectiligne uniformément accéléré (a>0)

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U

r

−

V U

r