Portfolio management

The Fundamental law of active portfolio management[pic 1]

Gestion Quantitative

Vanrenterghem                                                         Habouzit

Thibault                                                                        Mathieu

Sommaire

Section 1 : Analyse de l’article                                                p 3

                A : Introduction

                B : Allocation optimal

                C : Loi fondamentale sans contrainte

                D : Loi fondamentale sous contraintes

                E : Taille d’échantillon et génération de l’alpha

Section 2 : Notre étude                                                        p7

                A : Données initiales

                B : Résultats

Section 3 : Conclusion                                                      p11

Section 1 : Analyse de l’article

        A : Introduction

Cette article, écrit par Roger Clarke, Harindra de Silva et Steven Thorley en 2006 étudie l’extention de la « loi fondamentale de la gestion active » .Etudiée dans un premier temps par Grinold en 1989, ce dernier a développé sa théorie à partir d’une hypothèse simple, l’utilisation d’une matrice de variance covariance des rendements diagonale. Cette dernière à permis de démontrer la formule de « l’information ratio » plus connu dans cette situation par le ratio de Sharpe égale à la formule IR = IC* ou encore Efficiency = Skill * Breadth [pic 2]

IR = Information Ratio

IC = Information coefficient

N = nombre de prédictions indépendante

Cette théorie est sans cesse développée et étudiée en gestion d’actifs, certains fonds utilisent également cette méthode dans leur stratégie d’allocation d’actifs. Or dans le cas de notre article, les auteurs partent d’une hypothèse quelque peu différente. Ici nous allons chercher à voir si les rendements espérés et réalisés, qui nous sont fournis par la méthode de Grinold, sont ils encore valable dans le cas d’une matrice de variance covariance des rendements qui n’est pas diagonale mais entièrement remplie. Sachant que notre matrice de variance covariance des rendements contient l’ensemble des informations de marché, nous devrions obtenir un résultat plus précis que la « loi fondamentale » développée par Grinold.

Cet article, en plus de tenter de généraliser la « loi fondamentale » de Grinold, souligne l’importance de la taille d’échantillon ainsi que la génération d’alpha dans le cas d’une matrice de variance et covariance des rendements non diagonale.

Nous suivrons ici pas à pas les méthodes fournies dans l’article avant de passer à une mise en situation en utilisant les rendements de 21 indices nationaux du MSCI et l’indice EAFE pour nous servir de benchmark. Nous garderons également en tête que l’objectif du gérant et de surperformer son benchmark

        B. Allocation optimale

                a) Fonction d’utilité

Afin d’obtenir notre allocation optimale, il faut trouver la solution pour maximiser la fonction d’utilité définie par :

U= E( qui s’écrit sous forme matriciel U =  [pic 3][pic 4][pic 5]

Ou [pic 6]

 [pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Il faut noter ici que le rendement résiduel utilisé dans la fonction d’utilité n’est pas la différence entre le portefeuille géré vs benchmark (cette différence est en effet le relative return du portefeuille),  de même, le risque du portefeuille présent dans la fonction d’utilité est le risque du portefeuille « sous gestion active » contrairement au risque relatif (cf le tracking error du benchmark).[pic 10]

Peut être ajouter le cas du one factor model ou le risque du benchmark et du prtf sont les mêmes. Cf p56.

Nous ne faisons ici aucun hypothèse concernant la méthode permettant de donner chaque élément de la matrice .[pic 11]

Dans le cas de la matrice de variance covariance pleinement peuplée , nous proposons que le vecteur  est informé par la matrice . Ainsi l’ensemble de la distribution des rendements résiduels sont ici renseigné par les matrices  et .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

        b) Détermination de la solution optimale

Le problème d’optimisation consiste à choisir le poids  qui va maximiser notre fonction d’utilité. Par dérivation de la fonction U nous obtenons le poids optimal[pic 16]

 ou pour trouver , l’article recommande l’utilisation de la technique du «  factor base risk model ». [pic 17][pic 18]

Pour nous donner une idée du poids optimal, nous pouvons faire l’hypothèse d’une matrice de variance covariance diagonale ce que nous donnerait  même si dans l’ensemble de l’article nous utiliserons bien une matrice de variance covariance entièrement peuplée.[pic 19]

La fonction d’utilité n’inclus pas de contrainte de budget. Pour cela nous devons introduire une contrainte qui sous forme matricielle s’2crit .[pic 20]

Au lieu de continuer à utiliser le paramètre  d’aversion au risque. L’article nous propose de supposer que ce coefficient peut être exprimé en terme du risque du portefeuille actif [pic 21][pic 22]

Ainsi,          qui est la solution optimale sans contrainte de la fonction d’utilité.[pic 23]

        C. Loi fondamentale sans contrainte

                a) Rentabilité du portefeuille éspérée

La forme de la loi fondamentale espérée est obtenue en substituant le poids  dans la définition ) =   ce qui nous donne =  similaire au ratio de Sharpe mais qui se concentre ici au rendement du portefeuille sous gestion active.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Une formule plus basique de la loi fondamentale nous est donnée par Grinold (1994) qui utilise l’hypothèse d’une matrice de variance covariance diagonale et qui nous donne la formule permettant de calculer les rendements résiduels par = IC ou IC est « l’information coefficient »  défini par Grinold.[pic 30][pic 31]

Nous obtenons ainsi  ou N est défini par la « breadth » ou encore la taille de l’échantillon des actifs financiers sélectionnés.[pic 32]

                b) Rentabilité du portefeuille sans contrainte réalisée

Le rendement du portefeuille réalisé est =  = [pic 33][pic 34][pic 35]

On définit le premier terme comme le «  realized information coefficient » 

= qui est le coefficient de corrélation entre les vecteurs ( rendement résiduel espéré des actifs ) et r (rendement résiduel réalisé des actifs)[pic 36][pic 37][pic 38]

On définit D, le dernier terme par la dispersion des rendements des actifs réalisés ajustés par la matrice de covariance ou D = [pic 39]

Nous avons donc =  D.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

La performance réalisée est facilité par la décomposition entre le coefficient d’information ajusté par la matrice de covariance, le coefficient de dispertion réalisé ajusté par la matrice de covariance et les deux paramètres calculé « ex ante » qui sont le nombre d’actifs et le risque associé au portefeuille sous gestion active.