Dm 1 quadrature de la parabole
Documents Gratuits : Dm 1 quadrature de la parabole. Rechercher de 53 000+ Dissertation Gratuites et Mémoiresk =1 n
Démontrer aussi que :
Sn = sn +
1 1 = 3 n n
*
n
k2 =
k =1
d) En déduire la limite de la suite (Sn) et celle de la suite (sn). Conclure.
TS DM1 : quadrature de la parabole
c) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈
, on a :
n(n + 1)(2n + 1) 6
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£
£
b) On note, pour tout n ∈
, sn la somme des aires des rectangles hachurés en . sn A Sn
£ £
£
£
6 25
£
A
A
1 2
11 25
k
n−1
2 3 ; n n
... ... ...
k k +1 ; n n
... ... ...
et Sn la somme des aires
k2
k2
k =1
G. COSTANTINI
y 1
Cƒ
Figure 3
…
O
1 n
2 n
…
k n k +1 n n−2 n n −1 n
1
x
Largeur des rectangles :
1 n
TS DM1 : quadrature de la parabole
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G. COSTANTINI
DM 1
QUADRATURE DE LA PARABOLE : CORRIGÉ
TS
1. Le domaine D est entièrement contenu dans une moitié de carré (coupé en deux suivant une diagonale). Ce carré étant de côté 1, on a donc :
2. On calcule la somme des aires des quatre rectangles grisés (on la note s5 pour avoir des notations compatibles 1 avec la question 3). Ces rectangles ont tous pour largeur . Leurs hauteurs respectives sont les images, par la 5 1 2 3 4 fonction t t2, des réels , , et , d'où : 5 5 5 5 1 1 2 6 2 2 3 2 4 2 s5 = + + + = 5 5 25 5 5 5 On calcule, de même, la somme des aires des cinq grands rectangles blancs :
S5 =
1 5
1 5
2
+
2 5
2
+
Comme les rectangles grisés sont entièrement contenus dans le domaine D qui, lui-même, est entièrement contenu dans les grands rectangles blancs, on a bien :
borne supérieure (pour a) On a donc :
).
Tranche Hauteur des rectangles hachurés en Hauteur des rectangles hachurés en
0; 0
1 n
1 n
1 2 ; n n
1 n
2
2
2 n
2
sn =
1 n
1 n
2
+
2 n
2
+ ... +
k n
2
+ ... +
n −1 n
En factorisant par
1 dans la grande parenthèse, il vient : n2
sn =
1 2 (1 + 22 + ... + k2 + ... + (n − 1)2) 3 n
C'est-à-dire : De même, on a :
sn =
1 n3
n −1
k2
k =1
Sn =
D'une part, on a :
TS DM1 : quadrature de la parabole
1 n
1 n
2
+
2 n
2
+ ... +
k n
2
+ ... +
n −1 n
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b) Comme la largeur des rectangles est égale à
1 , on a pour tout n ∈ n
3. La hauteur de chaque rectangle est l'image, par la fonction t
£
£
6 25
£
A
A
1 2
3 5
2
+
4 5
2
+ 12 =
11 25
11 25
t2, de la borne inférieure (pour
) ou la
2 3 ; n n
2 n 3 n
2
... ... ...
k k +1 ; n n
k n
2
... ...
n −1 ;1 n
n −1 n
2
2
k +1 n
2
...
1
*
:
2
2
+1
G. COSTANTINI
Sn =
1 n
1 n
2
+
2 n
2
+ ... +
k n
2
+ ... +
n −1 n
2
+
1
...