La Famille

x 2 , alors u ( x 1 ) u ( x 2 ) et donc [ u ( x 1 ) ] [ u ( x2 ) ] . « u suivie de » est donc croissante sur [ 100 ; 500 ] .

3 Activités d’approche (page 40)

3.1 Sens de variation et courbes de fonctions associées

a) 9 6 4 2 O

v2 u v3

–6

v1

3.3 Des fonctions coûts

1. a) Si le coût de production était proportionnel au volume produit, la courbe représentative de C serait un segment de

■ 20

droite passant par l’origine O du repère. Or ce n’est pas le cas. En effet, le coefficient directeur des tangentes à la courbe commence par diminuer au fur et à mesure que le volume augmente. Donc les premiers centilitres produits coûtent plus chers que les suivants. Plusieurs explications sont possibles, par exemple la machine peut nécessiter un réglage au démarrage. b) Au fur et à mesure que le volume augmente, le coefficient directeur des tangentes à la courbe s’accroît. Donc les derniers centilitres produits coûtent plus cher que les précédents. Ceci peut s’expliquer, par exemple, par le fait que pour dépasser une certaine production, il faut payer des techniciens en heures supplémentaires. 2. a) C M ( v ) = v 2 – 12v + 60 . b) C 'M ( v ) = 2v – 12. CM est décroissante sur ] 0 ; 6 ] et croissante sur [ 6 ; 10 ] . c) 60 40 28 24 10 O 1 v2 6 10

g' ( X ) = 1,5 – 0,000 4X g' ( 2x ) = 1,5 – 0,000 8X . Donc f ' ( x ) = 2g' ( 2x ) .

4 Travaux dirigés (page 48)

4.1 Rentabilité d’une production

A. Notions utilisées

• Lecture graphique. • Lien entre signe de la dérivée et extremum d’une fonction.

B. Corrigé

1. a) 3 000 €. b) 2 000 € ; elle ne réalise pas un bénéfice car le coût de production est supérieur à 2 000 €. c) • q = 1, q = 3 . • q ∈ [1 ; 3] . 2. a) B' ( q ) = 4 – C ' ( q ) B' ( q ) = 0 lorsque C ' ( q ) = 4 , c’est-à-dire lorsque la tangente à la courbe représentant C est parallèle à la droite représentant R. On constate graphiquement que le coefficient directeur d’une tangente à la courbe représentant C est inférieur à 4 lorsque q x 0 et supérieur à 4 lorsque q x 0 . D’où le signe de B' ( q ) . q B' ( q ) B(q) Donc B ( x 0 ) est le bénéfice maximal. b) x 0 ≈ 2 et B ( 2 ) ≈ 1, donc le bénéfice maximal est d’environ 1 000 €. 0 + x0 0 – 6

3. a) C M ( v ) 28 soit – 12v + 32 0 . L’entreprise est bénéficiaire lorsque v ∈ [ 4 ; 8 ] . b) Le bénéfice sur un litre est maximal lorsque v = 6 . c) B ( v ) = 28v – C ( v ) = – v 3 + 12v 2 – 32v . B' ( v ) = – 3v 2 + 24v – 32 . – 4( 3 – 3) 4( 3 + 3) B' ( v ) = 0 pour v 1 = ------------------------ ou v 2 = ---------------------------- . 3 3 v B' ( v ) B(v) Donc le bénéfice total est maximal pour v 1 L de sirop produit et vendu, c’est-à-dire environ 6,31 L. d) C' ( v ) = 3v 2 – 24v + 60 . B' ( v 1 ) = – 3v 1 2 + 24v 1 – 32 = 0 lorsque 3v 1 2 – 24v 1 + 60 = 28 , c’est-à-dire C' ( v 1 ) = 28 . 0 – v2 0 + v1 0 – 6

4.2 Inverse d’une fonction

A. Notions utilisées

• Lecture graphique. • Reconnaissance de la courbe représentative de f ' à partir de celle de f. 1 • Sens de variation de ( f ) , en particulier ici ---- . f

B. Corrigé

1. a) 0 et 3. b) x f (x) –1 + 0 0 – 3 0 – 4

3.4 Dérivée d’une fonction composée

a) g' ( X ) = 1,5 – 0,000 4X. b) • 1 000 bouteilles représentent 2 000 L d’eau, et g ( 2 000 ) = 3 700 . • x bouteilles représentent 2x L d’eau, et g ( 2x ) = 1 500 + 3x – 0,000 8x 2 . c) f ( x ) = g ( 2x ) = 1 500 + 3x – 0,000 8x 2 . f ' ( x ) = 3 – 0,001 6x f ' ( 1 000 ) = 1,4. d) g' ( 2 000 ) = 1,5 – 0,000 4 × 2 000 = 0,7. f ' ( 1 000 ) = 2g' ( 2 000 ) . e) • Il semble que f ' ( x ) = 2g' ( 2x ) = 2g' ( X ) . • f ' ( x ) = 3 – 0,001 6x .

2. f est décroissante sur [ – 1 ; 1 ] et sur [ 3 ; 4 ] , donc f ' doit être négative sur [ – 1 ; 1 ] et [ 3 ; 4 ] . f est croissante sur [ 1 ; 3 ] , donc f ' doit être positive sur [1 ; 3] . De plus f ' doit s’annuler en 1 et en 3. La courbe b est la seule qui convient. 3. g = ° f , où est la fonction inverse. La fonction g est définie sur [ – 1 ; 0 [ ∪ ] 0 ; 3 [ ∪ ] 3 ; 4 ] . f est décroissante sur [ – 1 ; 0 [ et positive. est décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ , donc g est croissante sur [– 1 ; 0 [. Chapitre 2 - Sens de variation. Dérivation 21 ■

On montre de même que g est croissante sur ] 0 ; 1 ] , décroissante sur [ 1 ; 3 [ et croissante sur ] 3 ; 4 ] . Le tableau de variation de g est donc c .

b) u et u + k ont même sens de variation. 2 - a) u + v a le même sens de variation sur b) v ° u est croissante sur . f (a + h) – f (a) 3 - a) f ' ( a ) = lim -------------------------------------. h h→0 b) y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) . 4 - a) f est décroissante sur I. b) f est constante sur I. 5 - Pour tout x de I, f ' ( x ) 0 , sauf éventuellement en certains réels de I où la dérivée s’annule. que u et v.

4.3 Gestion de stock

A. Notions utilisées

• Modélisation d’une situation économique par une fonction. • Calcul de dérivée. • Lien entre signe de la dérivée et extremum d’une fonction.

B. Corrigé

150 000 1. a) Montant de chaque commande : ------------------ . x Montant moyen du stock entre deux commandes : 150 000 7 500 ------------------ = ------------ . 2x x 10 75 000 75 000 b) -------- × --------------- = --------------- . 100 x x c) 75x. 75 ( x 2 – 100 ) 7 500 2. a) C ' ( x ) = – ------------ + 75 = ------------------------------- . 2 x2 x 2 – 100 , donc C ' ( x ) C ' ( x ) est du signe de x et C ' ( x ) 0 sur [ 10 ; + ∞ [ . b) x C '(x) C(x) +∞ 1 500 c) Le coût est minimal pour 10 commandes dans l’année. 0 – 10 0 + +∞ +∞

6 Objectif Bac

Sujet guidé 1

1. a) f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 3 . 2 – (– 1) b) f ' ( 1 ) = -------------------- = 3. 1–0 ⎧a + b + c = 2 ⎪ 2. ⎨ 4a + 2b + c = 3 ⎪ ⎩ 2a + b = 3 a = – 2, b = 7 , c = – 3 . Donc f ( x ) = – 2x 2 + 7x – 3 .

0 sur ] 0 ; 10 ]

Sujet guidé 2

1. g' ( x ) = – 32x 2 + 24x – 16 . 2. ] 0 ; 1 [ . 3. g est croissante sur ] 1 ; + ∞ [ . 4. y = 4 .

4.4 Réfléchir avec la calculatrice graphique

A. Notions utilisées

• Fonctions coût moyen et coût marginal. • Dérivée d’un quotient. • De la conjecture à la preuve.

7 Corrigés des exercices et problèmes (page 55)

Vérifier les acquis

1 A - a) f est décroissante sur – 1 ; --- et sur [ 3 ; 5 ] ; f est 2 1 croissante sur --- ; 3 . 2 b) x f (x) –1 –1 1 1 --2 3 5 --2 1 – --2 5

B. Corrigé

1. b) Le minimum de CM est environ 760,080 69 et il est obtenu pour x 0 ≈ 32,383 871. On constate que ce sont les coordonnées du point d’intersection des deux courbes. c) On peut conjecturer que le minimum de CM est atteint en x0 lorsque x0 est l’abscisse du point d’intersection des courbes représentatives de CM et Cm. C ' ( x 0 )x 0 – C ( x 0 ) 2. C 'M ( x 0 ) = ------------------------------------------2 x0 C 'M ( x 0 ) = 0 , donc C ' ( x 0 )x 0 – C ( x 0 ) = 0 , c’est-à-dire C ( x0 ) C ' ( x 0 ) = -------------- , soit C m ( x 0 ) = C M ( x 0 ) . x0

360 – 180 B - a) ----------------------- = 3. 150 – 90 La masse récoltée s’accroît en moyenne de 3 kg par kg d’engrais répandu. b) 3. C - a) Pour tout réel x, f ' ( x ) = – 3 . b) Pour tout réel x, g' ( x ) = 10x + 2 . 1 9 -x -x c) Pour tout réel x, h' ( x ) = --- 2 – --- + 1. 2 2 1 D - a) Pour tout réel x ≠ 0 , f ' ( x ) = 2 – ---- . x2

5 Faire le point … sur le cours

1 - a) Si k 0 , u et ku ont le même sens de variation. Si k 0 , u et ku ont des sens de variation contraires.

■ 22

1 2 b) Pour tout réel x ≠ – --- , g' ( x ) = 3 + ---------------------- . 2 ( 2x + 1 )2 x 2 – 4x + 5 c) Pour tout réel x ≠ 2 , h' ( x ) = -------------------------- . 2( x – 2 )2

Exercices d’application

1 - a) On note C 1 la fonction représentée. Alors la fonction coût après l’augmentation, notée C 2 , est telle que : 1 C 2 = ⎛ 1 + -----⎞ C 1 = 1,1 C 1. ⎝ 10⎠