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xiste aussi en base 10).

Ainsi le nombre sera mis entre parenthèses (745 dans notre exemple) et indicé d'un nombre représentant sa base (8 est mis en indice).

Cette base obéira aux même règles que la base 10, vue précédemment, ainsi on peut décomposer (745)8 de la façon suivante :

(745)8 = 7 x 82 + 4 x 81 + 5 x 80

(745)8 = 7 x 64 + 4 x 8 + 5 x 1

(745)8 = 448 + 32 + 5

Nous venons de voir que :

(745)8 = (485)10

Le système binaire

Dans le système binaire , chaque chiffre peut avoir 2 valeurs différentes : 0, 1.

De ce fait, le système a pour base 2.

Tout nombre écrit dans ce système vérifie la relation suivante :

(10 110)2 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

(10 110)2 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1

donc : (10110)2 = (22)10 .

Tous les systèmes de numération de position obéissent aux règles que nous venons de voir.

Tableau récapitulatif

[pic]

Voir aussi le code binaire naturel.

Le système hexadécimal

Le système hexadécimal utilise les 16 symboles suivant :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

De ce fait, le système a pour base 16.

Un nombre exprimé en base 16 pourra se présenter de la manière suivante :

(5AF)16

La correspondance entre base 2, base 10 et base 16 est indiquée dans le tableau ci-après :

[pic]

Le nombre (5AF)16 peut se décomposer comme suit :

(5AF)16 = 5 x 162 + A x 161 + F x 160

En remplaçant A et F par leur équivalent en base 10, on obtient :

(5AF)16 = 5 x 162 + 10 x 161 + 15 x 160

(5AF)16 = 5 x 256 + 10 x 16 + 15 x 1

donc = (5AF)16 = (1455)10

Conversion d'un nombre de base quelconque en nombre décimal

En exposant les principes des systèmes de numération de position, nous avons déjà vu comment convertir les nombres de base 8, base 2 et base 16 en nombres décimaux.

Conversion d'un nombre décimal en nombre binaire

Pour expliquer ce type de conversion, on peut revenir sur le système décimal.

Si nous divisons le nombre (543)10 par 10, nous obtenons comme quotient 54 et 3 comme reste. Cela signifie que ce nombre équivaut à :

(54 x 10) + 3

Le reste 3 est le chiffre indiquant le nombre d'unités.

En redivisant ce quotient (54) par 10, nous obtenons 5 comme deuxième quotient et 4 comme reste. Ce reste donne le deuxième chiffre du nombre, donc celui des dizaines.

Enfin, si l'on divise ce deuxième quotient par 10, nous obtenons O et il restera 5 qui représentera le chiffre des centaines.

[pic]

Résumer du principe de conversion

En divisant successivement un nombre par la base (10) et en ne conservant que les restes, on a réussi à exprimer le nombre par des chiffres inférieurs de 10. Mais attention, il faut lire les restes de bas en haut.

Conversion binaire

Maintenant si nous divisons un nombre décimal par 2, le quotient indique le nombre de fois que 2 est contenu dans ce nombre et le reste indique le chiffre des unités dans l'expression du nombre binaire.

Soit N le nombre, Q1 le quotient et R1 le reste, nous avons :

N = (Q1 x 2) + (R1 x 1)

N = (Q1 x 21) + (R1 x 20)

Exemple :

[pic]

soit :

N = (22 x 2) + (0 x 1) = 44

Pour obtenir l'expression binaire d'un nombre exprimé en décimal, il suffit de diviser successivement ce nombre par 2 jusqu'à ce que le quotient obtenu soit égal à O.

Comme pour la conversion dans le système décimal les restes de ces divisions lus de bas en haut représentent le nombre binaire.

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(44)10 = (101100)2

Relation entre les nombres binaires et les nombres octaux

Exprimons (47)10 dans le système octal et le système binaire. Nous obtenons :

[pic]

Nous pouvons remarquer qu'après 3 divisions en binaire nous avons le même quotient qu'après une seule en octal. De plus le premier reste en octal obtenu peut être mis en relation directe avec les trois premiers restes en binaire :

(111)2 = 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20

(111)2 = 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1

(111)2 = (7)8

et il en est de même pour le caractère octal suivant :

(101)2 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

(101)2 = 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1

(101)2 = (5)8

Cette propriété d'équivalence entre chaque chiffre octal et chaque groupe de 3 chiffres binaires permet de passer facilement d'un système à base 8 à un système à base 2 et vice versa.

Exemple de conversion binaire octal et octal binaire :

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Relation entre les nombres binaires et les nombres hexadécimaux

La propriété d'équivalence que nous venons de voir entre le binaire et l'octal existe entre l'hexadécimal et le binaire.

La seule différence est qu'il faut exprimer chaque caractère hexadécimal à l'aide de 4 informations binaires.

[pic]

Représentation des nombres à virgule flottante

Nous savons qu'il est nécessaire de stocker des données dans les machines. Ainsi le nombre 9,750 se trouvera mémorisé sous la forme suivante :

1001,11

Toutefois cette expression binaire ne suffit pas à définir totalement notre donnée car il n'y a aucune indication sur la valeur du poids binaire affecté aux différents bits, d'où la notion de virgule.

En utilisant cette notion de virgule, notre nombre peut s'écrire de la manière suivante :

N = 1001,11 x 20

N = 100,111 x 21

N = 10,0111 x 22

N = 1,00111 x 23

N = 0,100111 x 24

Cette dernière expression présente l'avantage de représenter la grandeur par un nombre inférieur à 1 multiplié par une puissance de 2. L'exposant 4 est bien entendu représentatif de la position de la virgule.

Donc pour définir totalement notre information (9,750) il faudra dans ce système de représentation deux termes :

le terme 100111 appelé MANTISSE

le terme 100 appelé CARACTERISTIQUE

Si dans une machine les informations sont représentées en virgule flottante, elles se présenteront de la manière suivante :

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et elle sera égale à :

N = 0,100111 x 24

N = 1001,11

Représentation des nombres à virgule fixe

La représentation de nombre en virgule flottante n'est pas la seule imaginable. Expliquons la représentation de nombre en virgule fixe par un exemple.

Soit (25,75)10 = (11001,110)2

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La position de la virgule est fixe arbitrairement à la 4ème case vers la gauche. La position de la virgule n'est pas visualisée.

La case la plus à droite représente le poids 20 : ce qui est évidemment faux.

Cette représentation suppose la multiplication