Math Controle Commun

sont parallèles Les droites ( LM ) et ( DC ) sont coplanaires Les droites ( AE ) et ( CG ) sont coplanaires Les droites ( DH ) et ( BC ) sont non coplanaires Les droites ( DH ) et ( EF ) sont non coplanaires FAUX

Exercice 5 Le tombeau du Pharaon a la forme de la pyramide SABCD représentée ci-dessous. ABCD est un carré dont le côté mesure 250 mètres et la hauteur SO de cette pyramide mesure 240 mètres. En R est située la chambre du Roi à laquelle on accède par le couloir ER . On sait de plus que EI mesure 100 mètres et que ( ER ) est parallèle à ( IO ) . Les résultats seront arrondis avec deux décimales.

1°)

a) Calculer le périmètre du carré. b) Calculer l’aire du carré. c) Calculer le volume de la pyramide.

2°) 3°)

On admet que le triangle SOI est rectangle en O . Calculer SI . A quelle hauteur au-dessus du sol se trouve la chambre du Roi ?

Exercice 6 On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonction f définie sur l’intervalle [− 8 ; 8 ] .

1°)

a) Donner l’image de − 1 par f . b) Donner l’image de 4 par f .

2°)

a) Quels sont les antécédents de 6 par la fonction f ? b) Quels sont les antécédents de 3 par la fonction f ?

3°)

a) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = 0 . b) Résoudre graphiquement l’équation f ( x ) = − 2 . c) Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) > 6 .

4°)

a) Donner la valeur du maximum de f sur son ensemble de définition et préciser pour quelle(s) valeur(s) il est atteint. b) Donner la valeur du minimum de f sur son ensemble de définition et préciser pour quelle(s) valeur(s) il est atteint.

Corrigé du devoir commun

Exercice 1 1°) a)

A

B

b) Comme la droite passe par les points A ( 3 ; 2 ) et B ( 6 ; − 1 ) , la fonction affine f représentée par cette droite vérifie f ( 3 ) = 2 et f ( 6 ) = − 1 . f(3) − f(6 ) 2 − ( −1 ) 3 Son coefficient directeur a est : a = ------------------------- = ------------------- = ----- = − 1 . 3−6 −3 −3 On a donc f ( x ) = − x + b . Comme f ( 3 ) = 2 , on a − 3 + b = 2 donc b = 5 . La fonction affine représentée par la droite ( AB ) est donc définie par f ( x ) = − x + 5 . 2°) Graphiquement, le coefficient directeur de la droite ( D ) est 2 et son ordonnée à l’origine est − 3 .

Exercice 2 3 3 4 7 3 5 15 -- + 2 -- + -- -- × -- -----7 2 2 - = ----------- = -- = -- × -- = 7 ; B = ----------- = ----- = 2 2 2 2 2 4- A = -----------2 3 1 4 1 3 3 1 2 -- − -- --2 − -2 × -2 2 2 2 3 3 3 2 3 10 9 20 29 -- + 5 × --- + ------ + --------29 3 2 3 2 3 6 6 6 29 × 3 - C = --------------------- = -------------- = -------------- = ----- = ----- × -- = -------------------6 8 2 6 2 8 8 3×2×8 -- + -- --2 + -3 3 3 3 3 Exercice 3 1°) f ( x ) = ( x 2 + 2 × x × 2 + 2 2 ) + ( 5 2 − 2 × 5 × ( 2x ) + ( 2x ) 2 ) = ( x 2 + 4x + 4 ) + ( 25 − 20x + 4x 2 ) = 5x 2 − 16x + 29 g ( x ) = ( x 2 − 4x + 4 ) − ( 25 − 20x + 4x 2 ) = − 3x 2 + 16x − 21 h ( x ) = 3x × 5x + 3x × ( − 2 ) + 2 × 5x + 2 × ( − 2 ) = 15x 2 − 6x + 10x − 4 = 15x 2 + 4x − 4 k ( x ) = ( ( − x ) 2 + 2 × ( − x ) × 2 + 2 2 ) + ( 2 2 − 2 × 2 × x + x 2 ) = 2x 2 − 8x + 8 . 2°) f ( x ) = [ ( x + 2 ) + ( 5 − 2x ) ] [ ( x + 2 ) − ( 5 − 2x ) ] = ( − x + 7 ) ( 3x − 3 ) g ( x ) = [ ( x − 3 ) + ( 5 − x ) ] [ ( x − 3 ) − ( 5 − x ) ] = 2 ( 2x − 8 ) h ( x ) = ( 3x + 2 ) [ ( 5x − 2 ) + 1 ] = ( 3x + 2 ) ( 5x − 1 ) k ( x ) = ( x + 2 ) [ x + ( x + 2 ) ] = ( x + 2 ) ( 2x + 2 ) . 15 3 ----- × -- = 45 - ----4 2 8

29 = ----- . 16

Exercice 4

VRAI Les droites ( EL ) et ( FG ) sont sécantes Les droites ( EL ) et ( CG ) sont sécantes Les droites ( LM ) et ( CD ) sont sécantes Les droites ( LM ) et ( AB ) sont sécantes Les droites ( LM ) ( CG ) sont parallèles Les droites ( AE ) et ( CG ) sont parallèles Les droites ( LM ) et ( DC ) sont coplanaires Les droites ( AE ) et ( CG ) sont coplanaires Les droites ( DH ) et ( BC ) sont non coplanaires Les droites ( DH ) et ( EF ) sont non coplanaires FAUX

Exercice 5 1°) a) Le périmètre du carré est p = 4 × 250 = 1 000 m . b) L’aire du carré est A = 250 2 = 62 500 m 2 . 1 1 c) Le volume de la pyramide est V = -- × A × SO = -- × 62 500 × 240 = 5 000 000 m 3 . 3 3 Dans le triangle SOI rectangle en O , d’après la propriété de Pythagore on a : 250 2 SI 2 = SO 2 + OI 2 = 240 2 +  -------- = 57 600 + 15 625 = 73 225 donc SI =  2  3°) 73 225 = 5 2 929 m .

2°)

La hauteur recherchée est la longueur OR . Commençons par chercher la longueur SR : Dans le triangle SOI , on a R ∈ [ OS ] , E ∈ [ IS ] et ( RE )// ( OS ) . D’après le théorème de Thalès, on a : SR SE ------ = ------ donc SR = SE × SO = ( SI − EI ) × SO = ( 73 225 − 100 ) × 240 º 151,31 m . -------------------- ----------------------------------- -------------------------------------------------------SO SI SI SI 73 225 D’où OR = OS − SR º 88,69 m . La chambre du Roi se trouve donc à environ